§6.2 函数的极值
1．了解极大值、极小值的概念．(难点)2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．(重点)3．会用导数求函数的极大值、极小值．(重点)
1．通过极值概念的学习，培养数学抽象等核心素养．2．借助函数极值的求法，提升逻辑推理、数学运算等核心素养.
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探究点1 函数的极值点、极值【极大值点与极小值点】 如图⑴，在包含xo的一个区间(a,b)内，函数y=f(x)在任何不为xo的一点处的函数值都小于点xo处的函数值，称点xo为函数y=f(x)的极大值点，其函数值f(xo)为函数的极大值.
如图(2),在包含xo的一个区间(a,b)内，函数y=f(x)在任何不为xo的一点处的函数值都大于点xo处的函数值，称点xo为函数y = f(x)的极小值点，其函数值f(xo)为函数的极小值. 函数的极大值点与极小值点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值.
注意： 函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质.因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值.
极值是函数的一种局部性质，如图中,x1,x3,x5都是函数y=f(x)的极大值点,x2，x4都是函数y=f(x)的极小值点.从图中可以看出，函数的某些极大值有时候比其他极大值小，如f(x1)＜f(x3),甚至可能比一些极小值还小，如f(x1)＜f(x4).
【极大值与极小值】 若函数y=f(x)在区间(a,xo)内单调递增,在区间(xo,b)内单调递减，则xo是极大值点,f(xo)是极大值. 若函数y=f(x)在区间(a,xo)内单调递减,在区间(xo,b)内单调递增，则xo是极小值点,f(xo)是极小值.
探究点2 求函数的极值点的步骤 利用前面得出的导数与函数单调性的关系，观察发现:图2-17的极大值问题可以通过表2-6表示岀来；
图2-18的极小值问题可以通过表27表示出来.
例2 求函数f(x)= 2x3-3x2-36x+16的极值点.解析：f'(x) =6x2-6x-36 = 6(x+2)(x-3).通过解方程f'(x)=0得到了两个实数根个x1=-2和x2=3.当x<-2时，f'(x)＞0,函数f(x)在区间（-∞,-2）内单调递增；当-2<x<3时,f'(x)＜0,函数f(x)在区间（-2,3）内单调递减，因此,x1=-2是函数f(x)的极大值点.
当-2<x<3时,f'(x)＜0,函数在（-2,3）内单调递减；当x>3时,f'(x)>0,函数f(x)在区间（3, +∞）内单调递增，所以x2=3是函数f(x)的极小值点. 这个判断过程可以通过表2 - 8直观地反映出来.
【求函数极值点的步骤】 一般情况下,在极值点xo处，函数y=f(x)的导数f'(xo)=0.因此,可以通过如下步骤求出函数y=f(x)的极值点:1.求出导数f'(x).2.解方程f'(x)=0.3.对于方程f'(x)=0的每一个实数根xo,分析f'(x)在xo附近的符号（即f(x)的单调性），确定极值点：
（1） 若f'(x)在xo附近的符号“左正右负”，则xo为极大值点；（2） 若f'(x)在xo附近的符号“左负右正”，则xo为极小值点；（3） 若f'(x)在xo附近的符号相同，则xo不是极值点. 设xo是f(x)的一个极值点，并求出了f(x)的导数f'(xo),则f'(xo)=0.反之不一定成立. 例如，对于f(x)=x3,虽然f'(0)=0,但是x=0不是极值点.
解析 f'(x)=9x2-3.解方程 f'(x)=0,得x1=- , x2= .根据x1,x2列岀表2-9,分析f'(x)的符号、f(x)的单调性和极值点.例3 求函数f(x)=3x3一3x+l的极值，并画出函数的大致图象.
根据上表可知，x1=- 为函数f(x)=3x3-3x+1的极大值点，函数f(x)在该点的取值（极大值）为f(- )=1 + ;x2= 为函数f(x)的极小值点，函数f(x)在该点的取值（极小值）为f( )=1- .函数f(x)的大致图象如图2-19.
极值定义两个关键（1）可导函数y=f(x)在极值点处的f′(x)=0.（2）极值点左右两边的导数必须异号.三个步骤（1）确定定义域.
（2）求f'(x)=0的根.（3）列成表格. 用方程f'(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格，由f'(x)在方程f'(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况.
1．函数y=1 +3x－x3有( ) (A) 极小值－1，极大值1 (B) 极小值－2，极大值3 (C) 极小值－2，极大值2 (D) 极小值－1，极大值3D
2．函数y＝(x2－1)3＋1的极值点是( ) (A) 极大值点x=－1 (B) 极大值点x=0 (C) 极小值点x=0 (D) 极小值点x=1C
函数 在 时有极值10，则a，b的值为（ ）A. 或 B. 或C. D.以上都不对 C3.
解:由题设条件得解得经验证，当 时，f′(x)=3(x-1)2≥0恒成立，不存在极值点，故应选择C.注意：f′(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件注意代入检验
2023-2024学年北师大版选择性必修第二册 函数的极值 (课件)
