探究一平均变化率角度1 求物体运动的平均速度
反思感悟求物体运动的平均速度的主要步骤(1)先计算位移的改变量s(t2)-s(t1);(2)再计算时间的改变量t2-t1;
答案 B
角度2 求函数的平均变化率例2求函数f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求当x0=2,Δx=0.1时平均变化率的值.解 函数f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为 当x0=2,Δx=0.1时,函数y=3x2+2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2+3×0.1=12.3.
反思感悟求平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy,求平均变化率的主要步骤:
变式训练2函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,则实数m的值为 . 答案 2 解得m=2.
探究二瞬时变化率角度1 求物体运动的瞬时速度例3某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1 s时的瞬时速度.当Δt趋于0时,3+Δt趋于3.∴物体在t=1处的瞬时变化率为3,即物体在t=1 s时的瞬时速度为3 m/s.
反思感悟求运动物体在t=t0的瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0).
延伸探究1在本例条件不变的前提下,试求物体的初速度. 当Δt趋于0时,1+Δt趋于1.∴物体在t=0时的瞬时变化率为1,即物体的初速度为1 m/s.
延伸探究2在本例条件不变的前提下,物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s? 解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 当Δt趋于0时,(2t0+1)+Δt趋于2t0+1,则2t0+1=9,∴t0=4.则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
变式训练3一质点M按函数s(t)=at2+1做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),若质点M在t=2 s时的瞬时速度为8 m/s,求常数a的值.解 ∵质点M在t=2 s附近的平均变化率为 当Δt趋于0时,4a+aΔt趋于4a,∴4a=8,解得a=2.
角度2 求函数的瞬时变化率例4估算函数y=x- 在x=1处的瞬时变化率.
反思感悟估算一个函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率的步骤如下:(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
变式训练4已知函数f(x)= ,估算f(x)在x=1处的瞬时变化率为 .
2023-2024学年北师大版选择性必修第二册 第二章 1.1 平均变化率_1.2 瞬时变化率 (课件)
