1．借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值的概念．(直观想象)2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系．(数学抽象、逻辑推理)3．会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值．(逻辑推理、数学建模、数学运算)
必备知识•探新知
函数的最大值与最小值的再认识 知识点 1．基于极值概念的再认识结合函数极值的定义，我们有如下结论：一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，并且函数的最值必在___________________处取得．极值点或区间端点
想一想：上述结论还有怎样的内涵？提示：(1)给定函数的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值和最小值．常见的有以下几种情况：如图(1)中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最大值而无最小值；如图(2)中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最小值而无最大值；如图(3)中的函数y＝f(x)在(a，b)上既无最大值又无最小值；如图(4)中的函数y＝f(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值．
练一练：如图所示，函数f(x)导函数的图象是一条直线，则( )A．函数f(x)没有最大值也没有最小值B．函数f(x)有最大值，没有最小值C．函数f(x)没有最大值，有最小值D．函数f(x)有最大值也有最小值[解析] 由函数图象可知，函数只有一个极小值点x＝1，且函数在此处取得最小值，没有最大值．C
2．求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的_______；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中_____________是最大值，_____________是最小值．极值最大的一个最小的一个
想一想：函数的极值与最值有怎样的区别与联系？提示：(1)极值是对某一点附近(局部)而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言．(2)在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个．(3)函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点．(4)对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
练一练：已知函数f(x)＝x3－3x－1，若在区间[－3,2]上，f(x)的最大值为M，最小值为N，则M－N＝( )A．20 B．18C．3 D．0[解析] 由f(x)＝x3－3x－1得f ′(x)＝3x2－3，令f ′(x)＝0，解得x＝±1，所以x＝1，x＝－1为函数f(x)的极值点．因为f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上，M＝f(x)max＝1，N＝f(x)min＝－19，故M－N＝20.A
关键能力•攻重难
(1)(2023·临沂高二检测)y＝x3＋x2－x＋1在区间[－2,1]上的最小值为( )题型探究题型一求函数的最值典例 1C
[规律方法] 求函数最值的四个步骤：第一步求函数的定义域；第二步求f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；第三步列出关于x，f(x)，f ′(x)的变化表；第四步求极值、端点值，确定最值．特别警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．
(1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4,4]上的最大值为( )A．11 B．－70C．－14 D．21(2)(2023·白山高二检测)函数y＝xln x的最小值为( )对点训练❶AA
[解析] (1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋6的导数为f ′(x)＝3x2－6x－9，令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝3，由f(－4)＝－70；f(－1)＝11；f(3)＝－21；f(4)＝－14；所以函数y＝x3－3x2－9x＋6在区间[－4,4]上的最大值为11.
题型二求含参数的函数的最值 已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)．(1)若f ′(1)＝3，求a的值及曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)在区间[0,2]上的最大值．[解析] (1)f ′(x)＝3x2－2ax.因为f ′(1)＝3－2a＝3，所以a＝0.又当a＝0时，f(1)＝1，f ′(1)＝3.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.典例 2
[规律方法] 1.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论．2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
已知函数f(x)＝2ex(x＋1)．(1)求函数f(x)的极值；(2)求函数f(x)在区间[t，t＋1](t>－3)上的最小值g(t)．[解析] (1)f ′(x)＝2ex(x＋2)，由f ′(x)>0，得x>－2；由f ′(x)<0，得x<－2.∴f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减．∴f(x)的极小值为f(－2)＝－2e－2，无极大值．对点训练❷
题型三利用最值求解恒成立或有解问题 已知a≠0，函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)．若对任意x∈ [－2,1]，不等式f(x)<32恒成立，求a的取值范围．典例 3
[规律方法] 将证明或求解不等式问题转化为研究一个函数的最值问题可以使问题解决变得容易．一般地，若不等式a≥f(x)恒成立，a的取值范围是a≥[f(x
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第二册函数的最大(小)值课件
