2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第一册 圆的一般方程 （课件）

核心素养思维脉络1.理解圆的一般方程及其特点.(数学抽象)2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化.(数学运算)3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题.(逻辑推理) 课前篇 自主预习 激趣诱思我们已经学习了曲线与方程的关系,也已经认识了直线方程的多种形式,刚刚学习了圆的标准方程,现给出一个一般的二元二次方程:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A,C,D,E,F为常数),请问这个方程在什么情况下可以表示圆呢? 知识点拨一、圆的一般方程 名师点析1.当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点 ;当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.2.二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项.3.几个常见圆的一般方程(1)过原点的圆的方程:x2+y2+Dx+Ey=0(D,E不全为0);(2)圆心在y轴上的圆的方程:x2+y2+Ey+F=0(E2-4F>0);(3)圆心在x轴上的圆的方程:x2+y2+Dx+F=0(D2-4F>0);(4)圆心在x轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Dx=0(D≠0);(5)圆心在y轴上且过原点的圆的方程:x2+y2+Ey=0(E≠0). 微练习(1)圆x2+y2-6x=0的圆心坐标是　　　　　. (2)若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,以4为半径的圆,则F=　　　　　. 答案 (1)(3,0)　(2)4 微思考二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆需要满足哪些条件?提示 (1)A=C,且均不为0;(2)B=0;(3)D2+E2-4AF>0. 二、由圆的一般方程判断点与圆的位置关系及与圆有关的轨迹问题1.已知点M(x0,y0)和圆的方程2.点M的坐标(x,y)满足的等量关系式称为点M的轨迹方程.求符合某种条件的动点M的轨迹方程,实质上就是利用题设中的几何条件,通过“坐标化”将其转化为关于变量x,y之间的方程. 微判断(1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程.(　　)√ × √ 课堂篇 探究学习 探究一圆的一般方程初步理解例1若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求实数m的取值范围,并写出圆心坐标和半径.解 由题意得(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0, 反思感悟 形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如下两种方法:(1)由圆的一般方程的定义,若D2+E2-4F>0成立,则表示圆,否则不表示圆.(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种标准形式,若不是,则要化为这种形式再求解. 变式训练1(1)若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是(　　) (2)当圆C:x2+y2-4x-2my+2m=0的面积最小时,m的值是(　　)A.4 B.3 C.2 D.1 答案 (1)A　(2)D 解析 (1)∵x2+y2-x+y+m=0表示圆,∴1+1-4m>0,即m< .(2)