6.2 函数的极值第二章
【课程标准】【课时目标】1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.3.体会导数与单调性、极值的关系.1.借助教材实例了解函数的极值及相关的概念.(数学抽象)2.能利用导数求某些函数的极值.(数学运算)3.体会导数在求极值中的应用.(数学运算)4.能利用导数研究与函数极值等相关的问题.(数学运算)
基础认知·自主学习【导学素材】已知y=f(x)的图象(如图).【问题1】函数y=f(x)在b,c,d,e点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?【问题2】函数y=f(x)在b,c,d,e点的导数值是多少?【问题3】在b,c,d,e点附近,y=f(x)的导数的符号有什么规律?
函数的极值(1)极大值:在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都_____点x0处的函数值,则称点x0为函数y=f(x)的极大值点,其函数值f(x0)为函数的极大值. (2)极小值:在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都_____点x0处的函数值,则称点x0为函数y=f(x)的极小值点,其函数值f(x0)为函数的极小值.(3)极大值点与极小值点统称为_______,极大值与极小值统称为_____.小于大于极值点极值
【解透教材】1.对极值概念的理解(1)函数的极值是一个局部概念,是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大的或是最小的.(2)在定义域的某个区间内极大值或极小值并不唯一,也可能不存在,并且极大值与极小值之间无确定的大小关系.2.极值与极值点辨析(1)极值点是指自变量x的值,即横坐标,极值是指函数值y,即纵坐标.(2)极值点一定在区间的内部,端点不可能为极值点.
【思考与交流】(1)函数y=|x|在x=0处是否取得极值?可导吗?提示:由图象易知,在x=0处,y=|x|取得极小值;x=0是一个“尖点”,不可导.
(2)函数的极小值唯一吗?提示:不一定,有的函数无极小值,有的函数有唯一一个极小值,有的函数有多个极小值.(3)函数的极大值一定大于它的极小值吗?提示:不一定.
【基础小测】1.下列函数中,存在极值的函数为 ( )A.y=ex B.y=ln x C.y= D.y=x2-2x【解析】选D.A.因为函数y=ex是实数集上的增函数,所以函数y=ex没有极值;B.因为函数y=ln x是正实数集上的增函数,所以函数y=ln x没有极值;C.因为函数y=在区间(0,+∞),(-∞,0)上是减函数,所以函数y=没有极值;D.因为y=x2-2x=(x-1)2-1,所以该函数在(1,+∞)上是增函数,在(-∞,1)上是减函数,因此1是函数的极小值点,符合题意.
2.(教材练习改编)函数f(x)的定义域为R,导函数f'(x)的图象如图所示,则函数f(x) ( )A.无极大值点,有四个极小值点B.有三个极大值点,两个极小值点C.有两个极大值点,两个极小值点D.有四个极大值点,无极小值点【解析】选C.由导数与函数极值的关系知,当f'(x0)=0时,在x0的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x)在x=x0处取得极大值;若在x0的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x)在x=x0处取得极小值,设y=f'(x)图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1,x2,x3,x4,则f(x)在x=x1,x=x3处取得极大值,在x=x2,x=x4处取得极小值.
3.函数f(x)=x+2cos x在上的极大值点为 ( )A.0 B. C. D.【解析】选B.f'(x)=1-2sin x.令f'(x)=0,因为x∈,所以x=,当x∈时f'(x)<0,当x∈时,f'(x)>0.所以是f(x)在上的极大值点.
4.函数f=-x3-x2+6x+12的极大值为 ( )A.2 B. C.10 D.【解析】选D.因为f'=-3x2-3x+6=-3(x-1),当x<-2时,f'<0,当-2<x<1时,f'>0,当x>1时,f'<0,所以1是函数f(x)的极大值点,极大值为f=.
5.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值,则a= ( )A.10 B.5 C.4 D.2【解析】选A.因为f=x3+ax2+3x-9,所以f'(x)=3x2+ax+3,因为-3是函数的极值点,所以f'(-3)=0,即3×(-3)2-3a+3=0,解得a=10.经检验,符合题意.
能力形成·合作探究类型一 求函数的极值(点)(数学运算)1.函数f(x)=ln x-x ( )A.极小值为0,极大值为-1 B.极大值为-1,无极小值C.极小值为-1,极大值为0 D.极小值为-1,无极大值【解析】选B.由于f'(x)=-1=(x>0),令f'(x)>0,则0<x<1,所以f(x)在(0,1)上单调递增;令f'(x)<0,则x>1,所以f(x)在(1,+∞)上单调递减;所以f(x)极大值为f(1)=-1,无极小值.
2.(多选题)设函数f(x)=xln 2x+x的导函数为f'(x),则 ( )A.f'()=0 B.是f(x)的极值点C.f(x)存在零点 D.f(x)在上单调递增【解析】选AD.由题可知f(x)=xln 2x+x的定义域为(0,+∞),对于A,f'(x)=ln 2x+2ln x+1,则f'=ln 2+2ln +1=1-2+1=0,故A正确;对于B,D,f'(x)=ln 2x+2ln x+1=(ln x+1)2≥0,所以函数f(x)单调递增,故无极值点,故B错误,D正确;对于C,f(x)=xln 2x+x=x(ln 2x+1)>0,故函数f(x)不存在零点,故C错误.
3.(多选题)对于函数f=ex,以下选项正确的是 ( )A.有2个极大值 B.有2个极小值C.1是极大值点 D.1是极小值点【解析】选BC.由题得f'(x)=ex[(x-1)2(x-2)+2(x-1)(x-2)+(x-1)2]=ex(x+)(x-)(x-1).令f'(x)>0,解得x∈∪;令f'<0,解得x∈∪,即x∈,,f(x)单调递增,x∈,,f(x)单调递减.于是±是极小值点,1是极大值点,则f有2个极小值,1是极大值点.
4.设函数f=x--ln x(e为自然对数的底数),则f的极小值为______
2023-2024学年北师大版选择性必修第二册 第二章 §6 6.2 函数的极值 (课件)
