高中数学解题模型与方法—导数解决恒成立的问题 高中数学专项公关通用版

高中数学解题模型与方法 — 导数解决恒成立的问题 命题人：中学升学考试命题与预测组 【 解题模型与方法 】 恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于 0 等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数 f （ x ）＝ ax ²+1 恒大于 0 ，就必须对 a 进行限制，令 a ≥0 ，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单 【解题方法点拨】 一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导． 例： f （ x ）＝ x 2 +2 x +3≥ ax ，（ x ＞ 0 ）求 a 的取值范围． 解：由题意可知： a ≤ 恒成立 即 a ≤ x + +2 ⇒ a ≤2 +2 【考试方向】 恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用． 考试重点题型同步检测 考试范围：导数；考试时间： 120 分钟 一．选择题（共 8 小题） 1 ．函数 ，若恒有 f （ x ） ≥0 （　　） A ．（ e ， +∞ ） B ．（ e ﹣ 1 ， +∞ ） C ．（﹣ ∞ ， e ﹣ 1] D ．（﹣ ∞ ， 0] 2 ．已知函数 f （ x ）＝ x 2 ﹣ 2 x ﹣ alnx 在（ 0 ， +∞ ）上单调递增，则实数 a 的取值范围是（　　） A ．（﹣ ∞ ，﹣ ] B ．（﹣ ∞ ，﹣ ） C ．（﹣ ， +∞ ） D ． [ ﹣ ， +∞ ） 3 ．下列不等式中，对任意的 x ∈ （ 0 ， +∞ ）不恒成立的是（　　） A ． lnx ＜ x B ． 2 x ＞ x 2 C ． sin x ＜ x D ． e x ＞ x 4 ．已知函数 f （ x ）＝ ﹣ mx （ e 为自然对数的底数），若 f （ x ）（ 0 ， +∞ ）上恒成立，则实数 m 的取值范围是（　　） A ．（﹣ ∞ ， 2 ） B ．（﹣ ∞ ， e ） C ．（ ， +∞ ） D ．（﹣ ∞ ， ） 5 ．关于函数 f （ x ）＝ + lnx ，下列判断不正确的是（　　） A ． x ＝ 2 是 f （ x ）的极小值点 B ．函数 y ＝ f （ x ）﹣ x 有且只有 1 个零点 C ．存在正实数 k ，使得 f （ x ）＞ kx 恒成立 D ．对任意两个正实数 x 1 ， x 2 ，且 x 2 ＞ x 1 ，若 f （ x 1 ）＝ f （ x 2 ），则 x 1 + x 2 ＞ 4 6 ．设函数 f （ x ）＝（ x ﹣ 1 ）（ e x ﹣ e ）， g （ x ）＝ e x ﹣ ax ﹣ 1 ，其中 a ∈ R ．若对 ∀ x 2 ∈ [0 ， +∞ ），都 ∃ x 1 ∈ R ，使得不等式 f （ x 1 ） ≤ g （ x 2 ）成立，则 a 的最大值为（　　） A ． 0 B ． C ． 1 D ． e 7 ．已知函数 f （ x ）＝﹣ x 2 + ax ﹣ 3 ， g （ x ）＝ xlnx （ a ∈ R ）．若 2 g （ x ）（ x ）在（ 0 ， +∞ ）上恒成立，则 a 的取值范围为（　　） A ．（ 0 ， 2 ） B ． [0 ， 2] C ．（ 4 ， +∞ ） D ．（﹣ ∞ ， 4] 8 ．已知定义在 R 上的函数 φ （ x ）满足：当 x 1 ≠ x 2 时，恒有 ＞ 0 ， φ （ e x ﹣ b ） ≥ φ （ ax ）恒成立，则 ab 的最大值为（　　） A ． B ． C ． e D ． e 2 二．多选题（共 4 小题） （多选） 9 ．下列命题正确的是（　　） A ． ∀ x ∈ R ， x +1≤ e x B ． ∀ x ＞ 0 ， C ． ∀ x ＞ 0 ， D ． ∀ x ＞ 0 ， x ≤sin x （多选） 10 ．已知函数 ，则（　　） A ．若函数 f （ x ）有两个不同的零点，则 m ＞ e B ．若函数 g （ x ） ≥0 恒成立，则 m ≤ e C ．若函数 f （ x ）和 g （ x ）共有两个不同的零点，则 m ＝ 1 D ．若函数 f （ x ）和 g （ x ）共有三个不同的零点，记为 x 1 ， x 2 ， x 3 ，且 x 1 ＜ x 2 ＜ x 3 ，则 （多选） 11 ．已知函数 f （ x ）＝ e x ﹣ x ， g （ x ）＝ x ﹣ lnx ，则下列说法正确的是（　　） A ． g （ e x ）在（ 0 ， +∞ ）上是增函数 B ． ∀ x ＞ 1 ，不等式 f （ ax ） ≥ f （ lnx 2 ）恒成立，则正实数 a 的最小值为 C ．若 f （ x ）＝ t 有两个零点 x 1 ， x 2 ，则 x 1 + x 2 ＞ 0 D ．若 f （ x 1 ）＝ g （ x 2 ）＝ t （ t ＞ 2 ），且 x 2 ＞ x 1 ＞ 0 ，则 的最大值为 （多选） 12 ．已知函数 ，则（　　） A ．函数 f 1 （ x ）的图象关于直线 对称 B ．函数 f 4 （ x ）在区间（ 0 ， π ）上单调递减 C ．函数 f 1 （ x ）＜ 1 在区间（ 0 ， π ）上恒成立 D ． f k （ x ）＞ f k ﹣ 1 （ x ） 三．填空题（共 4 小题） 13 ．函数 f （ x ）＝ ，若 x （ f （ x ）﹣ a | x | ） ≤0 　 　 ． 14 ．已知对于任意 x ∈ R ，不等式 e x ≥ ax + b 都成立（ e 是自然对数的底数），则 a ﹣ b 的最小值是 　 　 ． 15 ．函数 f （ x ）＝ xe x ﹣ lnx ﹣ 1 ，若不等式 f （ x ） ≥2 ax 恒成立 　 　 ． 16 ．已知函数 ，在区间（ 0 ， 3 ）内任取两个实数 x 1 ， x 2 ，且 x 1 ≠ x 2 ，若不等式 恒成立，则实数 a 的最小值为 　 　 ． 四．解答题（共 7 小题） 17 ．设函数 f （ x ）＝ 2 x +1 ﹣ me 2 x ， m ∈ R ． （ 1 ）当 m ＝ 1 时，求 f （ x ）的单调区间； （ 2 ）求证：当 x ∈ （