5.1.4 用样本估计总体
知识梳理用样本的数字特征估计总体的数字特征一般情况下，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的特征能够反映总体的特征.特别地，样本平均数（也称为样本均值）、方差（也称为样本方差）与总体对应的值相差不会太大.在容许一定误差存在的前提下，可以用样本的数字特征去估计总体的数字特征，这样就能节省人力和物力等.所以，在估计总体的数字特征时，只需直接算出样本对应的数字特征即可.
问题1.用样本的数字特征估计总体的数字特征
问题2：分层抽样下用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本的分布来估计总体的分布如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的分布与总体分布会差不多.特别地，每一组的频率与总体对应的频率相差不会太大.如果容许有一定误差，则可以用样本的分布去估计总体的分布.而且，在总体的分布不可能获得时，只能用样本的分布去估计总体的分布.同数字特征的估计一样，分布的估计一般也有误差.如果总体在每一个分组的频率记为π1，π2，…，πn，样本在每一组对应的频率记为p1，p2，…，pn，一般来说，（πi-pi）2＝ ［（π1-p1）2+（π2-p2）2+…+（πn-pn）2］不等于零.同样，大数定律可以保证，当样本的容量越来越大时，上式很小的可能性将越来越大.
依照上述公式可以算出，前述尝试与发现（2）中总体的平均数可以估计为167.86，总体的方差可以估计为25.98.
问题3.用样本的分布估计总体的分布
如果从上述尝试与发现中提到的数据中，抽取两个容量为100的样本，则可以得到如下频数、频率对应表：
频率分布直方图的关系众数、中位数、平均数与
温故知新：初中统计部分曾学过用什么来反映总体的水平？用什么来考察稳定程度？它们是怎么定义的？1、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数在初中我们学过用平均数、众数和中位数反映总体的水平，用方差考察稳定程度。2、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数3、平均数: 一般地，如果n个数 ，那么， 叫做这n个数的平均数众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，本节课就学习如何利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数？
我们以前面学过的调查100位居民的月均用水量的问题中，所得到的频率分布直方图为例，来研究样本的众数、中位数、平均数等数字特征与样本数据的频率分布直方图的关系。0.52.521.543.534.5频率组距1如图为 100位居民的月均用水量的样本频率分布直方图：思考1：图中最高的小长方形的含义是什么？由此你是否能得 出众数是几？图中最高的小长方形的含义是样本数据落在[2，2.5）的最多，所以众数一定在[2，2.5）内，因为在[2，2.5） 内的数据较多，于是通常取该区间的两个端点的平均数作为众数，即众数是2.25 2.25重要结论1：众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标
我们已经会用频率分布直方图来求样本的众数。那么如何求中位数？0.52.521.543.534.5频率组距1如图为 100位居民的月均用水量的样本频率分布直方图：思考2：根据中位数的定义知道：在样本中，有50％的个体小于或等于中位数，也有50％的个体大于或等于中位数，由此你是否能求出中位数是几？∵中位数左边的数据个数与右边的数据个数是相等的∴中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值
0.52.521.543.534.5频率组距10.040.080.150.220.250.140.060.040.02前四个小长方形的面积和=0.49后四个小矩形的面积和=0.26x=a若令所求的中位数为a，则直线x=a把整个直方图的面积平分为二，于是有0.49+ （a-2）×0.5=0.5得a=2.022.02重要结论2：中位数在样本数据的频率分布直方图中，就是把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标
思考题中位数一定在最高的小长方形内取得吗？∵最高的小长方形左右两边的小长方形的面积和分别都不会达到0.5∴结论：中位数一定在最高的小长方形内取得，但是不一定是该区间的两个端点的平均数，即有可能比平均数大，也可能比平均数小
0.52.521.543.534.5频率组距10.040.080.150.220.250.140.060.040.02我们已经会用频率分布直方图来求出了样本的众数和中位数，那么最后如何求平均数？思考1：在频率分布直方图中,各个组的平均数如何找？在频率分布直方图中,各个组的平均数用其区间的中点表示即区间的两个端点之和的一半0.250.751.251.752.252.753.253.754.25思考2：各个小组的平均数与所求的样本的平均数有何关系？即各个小组的平均数对所求样本的平均数的影响是否与其所在的小长方形的面积有关系？若一个小组所在的小长方形的面积愈大，则说明该小组的平均数占所求样本的平均数的比重愈大，所以为了公平体现各个小组的平均数在样本平均数中所占比例的大小，我们把每个
5.1.4 用样本估计总体课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册
