知识梳理·读教材01题型突破·析典例02知能演练·扣课标03目录CONTENTS
01知识梳理·读教材
低碳生活（low-carbon life）可以理解为减少二氧化碳的排放，就是低能量、低消耗、低开支的生活.低碳生活节能环保，势在必行.现实生活中，当汽车行驶路程一定时，我们希望汽油的使用效率最高，即每千米路程的汽油消耗最少或每升汽油能使汽车行驶的路程最长.问题 如何使汽油的使用效率最高？
知识点 实际问题中导数的意义1.功与功率：在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它的单位是瓦特.2.降雨强度：在气象学中，通常把单位时间内的降雨量称作降雨强度.3.边际成本：在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f（x）的导函数称为边际成本.边际成本f'（x0）指的是当产量为x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f'（x0）个单位的成本.
1.一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y＝f（t）表示，则f'（10）表示（ ）A.t＝10时的降雨强度B.t＝10时的降雨C.t＝10时的时间D.t＝10时的温度解析：f'（t）表示t时刻的降雨强度，故选A.
2.火箭竖直向上发射，熄火时向上速度达到100 m/s，则熄火后 s火箭速度为零（g取10 m/s2）. 解析：由已知，得火箭的运动方程为h（t）＝100t－gt2，h'（t）＝100－gt.令h'（t）＝0，即100－gt＝0，∴t＝＝10（s）.即火箭熄火后10 s速度变为零. 答案：10
3.一个质量为m＝3 kg的物体做直线运动，设运动距离s（单位：cm）与时间t（单位：s）的关系可以用函数s（t）＝1＋t2表示，并且物体的动能U＝mv2，则物体开始运动后第5 s时的动能为 . 解析：∵s'（t）＝2t，∴s'（5）＝10，即5 s时的瞬时速度为10 cm/s，即0.1 m/s.此时，U＝×3×（0.1）2＝0.015 J. 答案：0.015 J
02题型突破·析典例
题型一 导数在物理中的意义【例1】 一质点做直线运动，已知路程s（单位：m）是时间t（单位：s）的函数，设这个函数可以表示为s＝3t2＋2t＋1.求：（1）从t＝2变到t＝3时，s关于t的平均变化率，并解释它的实际意义；解 （1）Δs＝s（3）－s（2）＝（3×32＋2×3＋1）－（3×22＋2×2＋1）＝17，∴＝＝17，即从t＝2变到t＝3时，s关于t的平均变化率为17，即此段时间质点的平均速度为17 m/s.
（2）当t＝2时的瞬时速度；解 （2）s'（t）＝6t＋2，∴s'（2）＝6×2＋2＝14（m/s）.即当t＝2时的瞬时速度为14 m/s.解 （3）设该质点的速度为v m/s，则v（t）＝s'（t）＝6t＋2，∴v'（t）＝6，∴v'（2）＝6.即当t＝2时的加速度为6 m/s2.（3）当t＝2时的加速度.
通性通法1.求运动物体瞬时速度的三个步骤（1）求位移改变量Δs＝s（t0＋Δt）－s（t0）；（2）求平均速度＝； （3）求瞬时速度，当Δt趋于0时，趋于的固定常数v即为瞬时速度，即v＝ .
2.求运动物体瞬时加速度的三个步骤（1）求速度改变量Δv＝v（t0＋Δt）－v（t0）；（2）求平均加速度＝； （3）求瞬时加速度，当Δt趋于0时，平均加速度的极限 即为瞬时加速度.
一个电路中，流过的电荷量Q（单位：C）关于时间t（单位：s）的函数为Q（t）＝3t2－ln t.（1）求当t从1变到2时，电荷量Q关于t的平均变化率，并解释它的实际意义（结果精确到0.01）；解：（1）当t从1变到2时，电荷量从Q（1）变到Q（2），此时电荷量关于时间t的平均变化率为＝≈8.31，它表示从t＝1 s到t＝2 s这段时间内，平均每秒经过该电路的电荷量为8.31 C，也就是这段时间内电路的平均电流为8.31 A.
（2）求Q'（2），并解释它的实际意义.解： （2）Q'（t）＝6t－，Q'（2）＝11.5，它的实际意义是：在t＝2 s这一时刻，经过该电路的电荷量为11.5 C，也就是这一时刻电路的电流为11.5 A.
题型二 导数在生活中的应用【例2】 假设某地在20年间的平均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）之间的关系为p（t）＝p0（1＋5%）t，其中p0为t＝0时的物价.假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01元/年）？解 根据基本初等函数的导数公式表，当p0＝1时，有p'（t）＝1.05tln 1.05.所以p'（10）＝1.0510ln 1.05≈0.08.所以在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.
通性通法 函数在某一取值x＝x0处的瞬时变化率可以刻画函数在x＝x0处的变化快慢情况，也可以利用以直代曲的方法根据斜率的正负，得到曲线f（x）在x＝x0附近的大体走势.
1.各地房产
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第二册实际问题中导数的意义课件
