2023-2024学年湘教版高中数学必修第二册 1.6.2第二课时 正弦定理的综合应用 （课件）

第二课时　正弦定理的综合应用 题型突破·析典例01知能演练·扣课标02目录CONTENTS 01题型突破·析典例 题型一　判断三角形的形状【例1】　在△ABC中，已知sin C＝2sin（B＋C）cos B，那么△ABC一定是（　　）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形解析　∵sin C＝2sin（B＋C）cos B，sin（B＋C）＝sin A，∴sin C＝2sin Acos B.由正余弦定理得c＝2a·，化简得a2＝b2，∵a＞0，b＞0，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形，故选B.  通性通法　　判断三角形的形状就是根据已知条件判断三角形是否为某些三角形（如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等）.这类题目的解答思路为化角为边，根据正弦定理把已知条件中边和角的混合关系转化为边的关系，然后通过整理得到边与边之间的数量关系，从而确定三角形的形状. 1.在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC的形状是（　　）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形解析：由正弦定理得，a2＝b2＋c2，∴△ABC为直角三角形.故选A. 2.在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是（　　）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析：由正弦定理，得＝，由a＝bsin A，得sin B＝1，所以∠B＝，即△ABC为直角三角形.  题型二　三角形的外接圆问题【例2】　在△ABC中，内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，b＝2，∠A＝120°，△ABC的面积为，则△ABC外接圆的半径为（　　） A.B.2C.2D.4B.2D.4解析　因为在△ABC中，b＝2，∠A＝120°，△ABC的面积为，所以bcsin A＝×2×c×sin 120°＝，解得c＝2，所以由余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccos A＝22＋22－2×2×2×＝12，所以a＝2，所以由正弦定理有＝＝2R（R为△ABC外接圆的半径），解得R＝2，所以△ABC外接圆的半径为2.  通性通法　　任何三角形都有唯一的外接圆，三角形各边与它所对角的正弦的比值恰好为该三角形外接圆的直径.利用此关系可解决三角形的外接圆问题. 1.在△ABC中，bc＝20，S△ABC＝5，△ABC的外接圆的半径为3，则a＝ 　　　　　⁠. 解析：由S△ABC＝5，有bcsin A＝×20×sin A＝5⇒sin A＝，再由正弦定理有＝2×3，即a＝×2×3＝3. 答案：3 2.在△ABC中，a，b，c分别是内角∠A，∠B，∠C的对边，若a＝2，b＝3，sin A＝2sin Bcos C，则△ABC外接圆的半径为 　　　　　⁠. 解析：由正弦定理得，a＝2bcos C，cos C＝，由余弦定理得cos C＝＝＝，解得c＝3.又sin C＝，所以外接圆半径R＝·＝. 答案：  题型三　正、余弦定理的综合应用【例3】　在△ABC中，内角∠A，∠B，∠C所对的边