探究1 等差数列与等比数列的交汇问题例1在等差数列<m></m>中，<m></m>，<m></m>． （1）求数列<m></m>的通项公式. [解析]设数列<m></m>的公差为<m></m>，由<m></m>，<m></m>，得<m></m>解得<m></m>所以<m></m>．
（2）令<m></m>，证明：数列<m></m>为等比数列. [解析]由（1）得<m></m>，所以<m></m>，所以数列<m></m>是首项为4，公比为4的等比数列．
方法指导（1）根据等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，从而求得数列<m></m>的通项公式；（2）由（1）求出数列<m></m>的通项公式，再利用定义法证明数列<m></m>为等比数列．
【变式设问】若本例中第（2）问的条件不变，求数列<m></m>的前<m></m>项和<m></m>． 提示由<m></m>，得<m></m>，①<m></m>，②①－②，得<m></m>，所以<m></m>．
方法总结 等差数列、等比数列综合问题的两大解题策略（1）设置中间问题：分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项，求通项需要先求出首项和公差（公比）等，确定解题顺序．（2）注意解题细节：在等差数列与等比数列的综合问题中，若等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．
针对训练1设<m></m>是等差数列，且<m></m>，<m></m>． （1）求数列<m></m>的通项公式； [解析]设数列<m></m>的公差为<m></m>．因为<m></m>，所以<m></m>．又<m></m>，所以<m></m>.所以<m></m>． （2）求<m></m>． [解析]因为<m></m>，所以数列<m></m>是首项为2，公比为2的等比数列，所以<m></m>．
探究2 数列与不等式的交汇问题例2已知数列<m></m>的前<m></m>项和为<m></m>，且<m></m>． （1）求数列<m></m>的通项公式； [解析]由<m></m>可得<m></m>．因为<m></m>，所以当<m></m>时，<m></m>，即<m></m>.所以数列<m></m>是以2为首项，2为公比的等比数列，所以<m></m>．
（2）设<m></m>，求使<m></m>对任意<m></m>恒成立的实数<m></m>的取值范围． [解析]由（1）知<m></m>，则<m></m>．要使<m></m>对任意<m></m>恒成立，则需<m></m>对任意<m></m>恒成立．设<m></m>，易知当<m></m>或<m></m>时，<m></m>取得最小值，最小值为<m></m>，所以<m></m>.即实数<m></m>的取值范围为<m></m>．
方法指导（1）根据<m></m>，可得出数列<m></m>为等比数列，结合数列<m></m>的首项即可求出数列<m></m>的通项公式；（2）根据（1）求出<m></m>的表达式，通过分离参数<m></m>，即可求出实数<m></m>的取值范围． 方法总结 数列与不等式综合问题的求解策略 解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题．
针对训练2设数列<m></m>的前<m></m>项和<m></m>满足<m></m>，且<m></m>，<m></m>，<m></m>成等差数列，<m></m>． （1）求数列<m></m>的通项公式； [解析]由已知<m></m>，得<m></m>，即<m></m>，从而<m></m>，<m></m>．又因为<m></m>，<m></m>，<m></m>成等差数列，所以<m></m>，即<m></m>，解得<m></m>.所以数列<m></m>是首项为2，公比为2的等比数列，故<m></m>．
（2）记数列<m></m>的前<m></m>项和为<m></m>，求使得<m></m>成立的<m></m>的最小值． [解析]由（1）得<m></m>，所以<m></m>．由<m></m>，得<m></m>，即<m></m>．因为<m></m>，所以<m></m>．故使<m></m>成立的<m></m>的最小值为10．
探究3 数列与函数的交汇问题例3已知数列<m></m>的前<m></m>项和为<m></m>，点<m></m>在函数<m></m>的图象上，等比数列<m></m>满足<m></m>，其前<m></m>项和为<m></m>，则下列结论正确的是(). A.<m></m>B.<m></m>C.<m></m>D.<m></m> 方法指导依据点在函数图象上，结合<m></m>与<m></m>的关系可求出<m></m>的表达式，再根据<m></m>，求出<m></m>和<m></m>． √
[解析]因为点<m></m>在函数<m></m>的图象上，所以<m></m>，即<m></m>．当<m></m>时，<m></m>，又当<m></m>时，<m></m>满足上式，所以<m></m>．设<m></m>，则<m></m>，可得<m></m>，<m></m>，所以数列<m></m>的通项公式为<m></m>．由等比数列前<m></m>项和公式可得<m></m>．结合选项可知，只有D正确．
方法总结 数列与函数综合问题的主要类型及求解策略 （1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前<m></m>项和公式、求和方法等对式子化简变形．注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性．
针对训练3设<m></m>是一次函数，若<m></m>，且<m></m>，<m></m>，<m></m>成等比数列，则<m></m>等于(). A.<m></m>B.<m></m>C.<m></m>D.<m></m> [解析]由题意可设<m></m>，则<m></m>，解得<m></m>，所以<m></m>． √
2023-2024学年北师大版选择性必修第二册 习题课5 数列的交汇问题 (课件)
