2023-2024学年北师大版选择性必修第二册 阶段提升课　第二课　导数及其应用 (课件)

阶段提升课第二课　导数及其应用第二章 知识体系·思维建模 考点整合·素养提升题组训练一　导数的计算求下列函数的导数.(1)y=;(2)y=ex·sin x;(3)y=(2+3x)(3-5x+x2);(4)y=2x+log2x.【解析】(1)y'==.(2)y'=(ex)'·sin x+ex·(sin x)'=ex(sin x+cos x).(3)y'=(2+3x)'·(3-5x+x2)+(2+3x)·(3-5x+x2)'=9x2-26x-1.(4)y'=2xln 2+.  【解题策略】求导数的解题策略(1)求函数的导数,首先要熟记基本初等函数的导数公式,掌握和、差、积、商的导数法则.(2)其次要看函数式的结构形式是否为复合函数,能否化简等.(3)若函数是复合函数,要注意函数的外层,内层,准确运用复合函数求导公式求导. 题组训练二　导数的几何意义1.曲线y=ln x在点M处的切线过原点,则该切线的斜率为 (　　)A.1 B.e C.- D.【解析】选D.设M(x0,ln x0),由y=ln x得y'=,所以切线斜率k=,所以切线方程为y-ln x0=(x-x0).由题意得0-ln x0=(0-x0)=-1,即ln x0=1,所以x0=e.所以k==.  2.设a∈R,函数f(x)=ex+a·的导函数f'(x)是奇函数,若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为________. 【解析】由题意可得f'(x)=ex-是奇函数,所以f'(0)=1-a=0,所以a=1,所以f(x)=ex+,f'(x)=ex-.因为曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,所以=ex-,可得ex=2(舍负),所以x=ln 2.答案:ln 2  3.求函数f(x)=x3-x图象上过点(1,0)的切线方程.【解析】设函数f(x)=x3-x图象上切点的坐标为P(x0,-x0),则切线斜率为k=f'(x0)=3-1,切线方程为y-(-x0)=(3-1)(x-x0).由于切线经过点(1,0),所以0-(-x0)=(3-1)(1-x0),整理得2-3+1=0,即2(-1)-3(-1)=0,所以2(x0-1)(+x0+1)-3(x0+1)(x0-1)=0,所以(x0-1)2(2x0+1)=0,解得x0=1或x0=-.所以P(1,0)或P,所以切线方程为y=2x-2或y=-x+.  【解题策略】求曲线的切线方程的方法(1)分清题目条件是已知切点还是未知切点(过点)的切线;(2)未知切点的切线方程问题一般先设出切点坐标,然后构造方程(组)求解. 题组训练三　函数的单调性1.已知定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是 (　　)A.f(b)>f(c)>f(d) B.f(b)>f(a)>f(e)C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(c)>f(e)>f(d)【解析】选C.由题图可得,当x∈(-∞,c)时,f'(x)>0,因此,函数f(x)在(-∞,c)上是增函数,由于a<b<c,所以f(c)>f(b)>f(a). 2.已知函数f(x)=ln x-+(a∈R).(1)若a=1,求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)在[1,+∞)内为增函数,求实数a的取值范围.【解析】f(x)的定义域为(0,+∞).f'(x)=+-=.(1)若a=1,则f'(x)==,令f'(x)=0,得x=1(x=-2舍去),当0<x<1时,f'(x)<0;当x>1时,f'(x)>0,所以f(x)的递增区间为(1,+∞),递减区间为(0,1).  (2)由于f(x)在[1,+∞)内为增函数,所以f'(x)=≥0在[1,+∞)上恒成立,即x2+ax-2a≥0在[1,+∞)上恒成立.令g(x)=x2+ax-2a,当-≤1即a≥-2时,g(x)在[1,+∞)上是增函数,g(x)min=g(1)=1-a,因此1-a≥0,所以-2≤a≤1;当->1,即a<-2时,g(x)min=g=--2a,因此--2a≥0,所以-8≤a<-2.综上可得,实数a的取值范围是[-8,1].  【解题策略】研究函数单调性策略(1)研究函数的单调性即确定导数在相应区间的符号,含参数的函数要分类讨论.(2)已知函数单调性求参数有两种思路:一是分析所给区间和单调区间的关系;二是转化为恒成立问题. 题组训练四　函数的极值、最值及其应用1.若函数f(x)=x2ex-a恰有三个零点,则实数a的取值范围是 (　　)A. B. C.(0,4e2) D.(0,+∞)【解析】选B.令g(x)=x2ex,则g'(x)=2xex+x2ex=xex(x+2).令g'(x)=0,得x=0或x=-2,所以g(x)在(-2,0)上单调递减,在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增.所以g(x)极大值=g(-2)=,g(x)极小值=g(0)=0,又f(x)=x2ex-a恰有三个零点,则0<a<.  2.已知函数f(x)=xln x.(1)求f(x)的最小值;(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围;(3)若关于x的方程f(x)=b恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=1+ln x,令f'(x)>0,解得x>;令f'(x)<0,解得0<x<,故f(x)在上是减少的,在上是增加的,故f(x)min=f()=ln =-.  (2)因为f(x)=xln x,当x≥1时,f(x)≥ax-1恒成立,等价于xln x≥ax-1(x≥1)恒成立,等价于a≤ln x+(x≥1)恒成立,令g(x)=ln x+(x≥1),则a≤g(x)min恒成立;因为g'(x)=-=,所以当x≥1时,g'(x)≥0,所以g(x)在[1,+∞)上是增加的,所以g(x)min=g(1)=1,所以a≤1,即实数a的取值范围为(-∞,1].(3)若关于x的方程f(x)=b恰有两个不相等的实数根,即y=b的图象和y=f(x)的图象在(0,+∞)上有两个不同的交点,由(1)知当0<x<时,f'(x)<0,当x>时,f'(x)>0.f(x)在上单调递减,在(,+∞)上单调递增,f(x)min=f=ln =-;故当-<b<0时,满足y=b的图象和y=f(x)的图象在(0,+∞)上有两个不同的交点,即若关于x的方程f(x)=b恰有两个不相等的实数根,则-<b<0.即实数b的取值范围为.  【解题策略】函数极值、最值及其应用策略(1)通过函数单调性可研究函数的极值、最值.(2)一些函数零点、不等式问题可通过构造函数,研究函数的单调性、极值、最值并结合函数的大致图象解决.