三维提升课 平面向量中的最值、范围问题
题型突破·析典例01知能演练·扣课标02目录CONTENTS
01题型突破·析典例
题型一 平面向量数量积的最值、范围问题【例1】 在△ABC中，C＝，AC＝BC＝2，M为边AC的中点，若点P在边AB上运动（点P可与A，B重合），则·的最小值为 . 解析 法一 如图，以C为坐标原点，建立平面直角坐标系，则C（0，0），A（0，2），B（2，0），M（0，1），
依题意可设P（x，2－x），0≤x≤2，则＝（x，1－x），＝（x，2－x），所以·＝（x，1－x）·（x，2－x）＝2x2－3x＋2＝2（x－）2＋≥.故·的最小值为. 法二 取MC的中点为Q，连接PQ，则｜｜＝，所以·＝·＝－＝－≥（）2－＝，故·的最小值为. 答案
通性通法数量积的最值、范围问题的处理方法（1）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基表示后，再运算；（2）建立坐标系，利用向量的坐标运算转化为函数来处理；（3）利用极化恒等式来处理.
已知圆O半径为2，弦AB＝2，点C为圆O上任意一点，则·的最大值是 . 解析：如图，取AB中点D，连接OD，OA，OC，则cos∠OAD＝，∴·＝·（－）＝·－·＝｜｜｜｜cos＜，＞＋｜｜｜｜cos∠OAD＝4cos＜，＞＋2≤6；当cos＜，＞＝1，即，同向时取“＝”；∴·的最大值为6. 答案：6
题型二 平面向量模的最值、范围问题【例2】 已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足｜－－｜＝1，则｜｜的最小值为（ ） A.－1B.2－1C.2－1D.－1
解析 如图，建立平面直角坐标系，则A（0，），B（－1，0），C（1，0），设P（x，y），＝（x，y－），＝（－1，－），＝（1，－），－－＝（x，y＋），｜－－｜＝＝＝1，则P到（0，－）距离为1，则｜｜最小值为2－1.
通性通法向量模的最值、范围问题的处理方法 设a＝（x，y），则｜a｜＝＝，向量的模可以利用坐标表示，也可以借助“形”，向量的模指的是有向线段的长度，可以结合平面几何知识求解，尤其注意，如果直接求模不易，可以将向量用基表示再求.
已知｜｜＝｜｜＝2，点C在线段AB上，且｜｜的最小值为，则｜＋t｜（t∈R）的最小值为（ ） A.B.C.2D.C.2
解析：当OC⊥AB时，｜｜取得最小值，因为｜｜＝｜｜＝2，所以此时点C为线段AB的中点，因为｜｜＝｜｜，所以∠A＝，故∠AOB＝，则·＝｜｜·｜｜cos＝2，因为｜＋t｜2＝t2｜｜2＋2t·＋｜｜2＝4t2＋4t＋4＝（2t＋1）2＋3≥3，故｜＋t｜≥.故选B.
题型三 平面向量夹角
2023-2024学年北师大版高中数学必修第二册 第二章提升课 平面向量中的最值、范围问题 （课件）
