§7.1实际问题中导数的意义
一条连续不断 极值 最大的一个 最小的一个
导数来源于生活，服务于生活；实际生活中，有许多词语与导数有关，如物理上的功与功率，线速度，加速度，还有生活中常听说的降雨强度、边际成本等.这节课，我们就来研究一下实际问题中导数的含义.
1.能建立实际问题的函数模型，进一步理解导数的概念，能分析实际问题中导数的意义2.通过利用导数分析生活中的实际问题，进一步培养数学建模的意识和能力，并体会其中的算法思想情感、态度与价值观；
1.能理解并能解释实际问题中导数的意义.(数学抽象)2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.(数学建模、数学运算)
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探究点1 功与功率中导数的意义 一、实际问题中导数的意义1.功率: 在物理学中,通常称力在单位时间内做的功为功率,它的单位是瓦特.
例1 如图,某人拉动一个物体前进,他所做的功W(单位:J)是时间t(单位:s)的函数，设这个函数可以表示为 W=W(t)=t3-6t2 +16t.(1)求t从1s变到3s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求W(1),W'(2),并解释它们的实际意义.
解 (1)当t从1s变到3s时，功W从W(l) = ll J变到W(3) = 21 J,此时功W关于时间t的平均变化率为 =5 (J/s)它表示从1 s到3 s这段时间内,这个人平均每秒做功5 J.(2)首先求W'(t).根据导数公式表和导数的运算法则，可得W'(t) = 3t2-12t+16.于是 W'(l)=7 J/s,W'(2)=4 J/s.W'⑴和W'(2)分别表示t=1 S和t=2 S时，这个人每秒做的功为7 J和4 J.
探究点2 降雨强度中导数的意义 2.降雨强度: 在气象学中,通常把单位时间内的降雨量称作降雨强度.它是反映一 次降雨大小的一个重要指标.
例2 表2-11为一次降雨过程中一段时间内记录的降雨量数据.显然,降雨量y(单位:mm)是时间t(单位:min)的函数，用y=f(t)表示.(1)分别计算当t从0 min变到10 min,从50 min变到60 min时，降雨量y关于时间t的平均变化率，比较它们的大小，并解释它们的实际意义;(2)假设得到降雨量y关于时间t的函数的近似表达式为f(t) = 求f'(40)并解释它的实际意义.
解 (1)当t从0 min变到10 min时，降雨量y从0mm变到10 mm,此时,降雨量y关于时间t的平均变化率为它表示从0 min到10 min这段时间内,平均每分钟降雨量为1 mm.当t从50 min变到60 min时,降雨量y从22 mm变到24 mm,此时,降雨量y关于时间t的平均变化率为它表示从50 min到60 min这段时间内,平均每分钟降雨量为0.2 mm.l>0.2,说明这次降雨过程中，刚开始的10 min比后10 min的雨下得大.
在气象学中，通常把在单位时间(如1 h,l d等)内的降雨量称作降雨强度.它是反映一 次降雨大小的一个重要指标，因此，用气象学的知识解释，0 min到10 min这段时间内的平均降雨强度是1 mm/min,而50 min到60 min这段时间内的平均降雨强度为0.2 mm/min.
(2) .将t=40代入,得 (mm/min).表示当t=40 min时,降雨量y关于时间t的瞬时变化率(即瞬时降雨强度)为0.25 mm/min.
探究点3 边际成本中导数的意义 3.边际成本: 在经济学中,通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函数称为边际成本. 边际成本f'(x0)指的是当产量为x0时,生产成本的增加速度,也就是当产量为x0时,每增加一个单位的产量,需要增加f'(x0)个单位的成本.
例3 建造一幢面积为x(单位:m2)的房屋需要成本y(单位:万元)，y与x的函数关系为 y =f(x)= + + 0.3.(1)当x从100 m2变到120 m2时，建筑成本y关于建筑面积x的平均变化率是多少? 它代表什么实际意义？(结果精确到0.001)(2)求f'(100)并解释它的实际意义.
解(1)当x从100 m2变到120 m2时，建筑成本y关于建筑面积x的平均变化率为≈0.105(万元/m2).它表示在建筑面积从100 m2增加到120 m2的过程中，每增加1 m2的建筑面积，建筑成本平均约增加1 050元.
（2） f'(x)=.于是f'(100)==0. 105（万元/m2）.f'(100)表示当建筑面积为100 m2时,成本增加的速度为1 050元/m2,也就是说，保持这一增速，当建筑面积为100 m2时，每增加1 m2的建筑面积，成本就要增加 1 050 元.
1.物体的运动函数是s=10t-t2(s的单位:m;t的单位:s),则物体在t=2 s的速度是( )A.2 m/s B.4 m/s C.6 m/s D.8 m/s解析 ∵质点的运动函数为s=10t-t2,∴s'=10-2t,∴该质点在t=2 s的瞬时速度为10-4=6(m/s).C
2.已知自由下落的物体下落的距离s(单位:m)和时间t(单位:s)的函数解析式为s=gt2, g取10 m/s2.求函数在t=2处的导数f'(2),并解释它的实际意义. 解 f'(t)=gt=10t,∴f'(2)=20(m/s),f'(2)表示物体在第2秒时的速度.
3.已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值．解析:设圆柱的底面半径为r，高为h，则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，
2023-2024学年北师大版选择性必修第二册 实际问题中导数的意义 (课件)
