§7 导数的应用7.1 实际问题中导数的意义第二章
【课程标准】【课时目标】了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想.1.了解导数在实际问题中的意义(数学抽象)2.能够利用实际问题进一步巩固和加强对导数概念的理解(数学抽象、数学运算)
基础认知·自主学习生活中的变化率问题(1)在物理学中,通常称力在单位时间内做的功为_____,它的单位是瓦特.(2)在气象学中,通常把在单位时间(如1时、1天等)内的降雨量称作降雨强度,它是反映一次降雨大小的一个重要指标.(3)在经济学中,通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函数称为边际成本,边际成本f'(x0)指的是当产量为x0时,生产成本的增加速度,也就是当产量为x0时,每增加一个单位的产量,需要增加f'(x0)个单位的成本.功率
【思考与交流】(1)设总成本函数为C=C(q),C表示总成本,q表示产量,那么C(q)的导数C'(q)是什么?其经济意义是什么?提示:C'(q)为产量为q个单位时的边际成本.边际成本的经济意义是:当产量达到q个单位时,再增加一个单位的产量,总成本将增加C'(q)个单位.(2)设总利润函数为L=L(q),L表示总利润,q表示销售量,那么L=L(q)的导数L'(q)是什么?其经济意义是什么?提示:L'(q)为销售量为q个单位时的边际利润.边际利润的经济意义是:销售量达到q个单位的时候,再增加一个单位的销量,相应的总利润增加L'(q)个单位.
【基础小测】1.一质点的运动方程为s=5-3t2,则该质点在t=2时的速度等于 ( )A.-12 B.12 C.2 D.-7【解析】选A.因为s'=-6t,所以s'(2)=-12.
2.一次降雨过程中,降雨量y是时间t(单位:h)的函数,用y=f(t)表示,则f'(10)表示( )A.t=10时的降雨强度B.t=10时的降雨量C.10小时的平均降雨量D.t=10时的温度【解析】选A.f'(t)表示t时刻的降雨强度.
3.如果物体做直线运动的方程为s(t)=2(1-t)2,则其在t=4时的瞬时速度为 ( )A.12 B.-12 C.4 D.-4【解析】选A.因为s(t)=2t2-4t+2,所以s'(t)=4t-4,所以s'(4)=4×4-4=12.
4.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t s后的位移为s=3t2+t,则速度v=10时的时刻t=________. 【解析】s'=6t+1,则v(t)=6t+1,令6t+1=10,则t=s.答案:s5.某物体的运动速度与时间的关系为v(t)=2t2-1,则t=2时的加速度为__________. 【解析】因为v'(t)=4t,所以v'(2)=8.答案:8
能力形成·合作探究类型一 导数在物理学中的应用(数学抽象、数学运算)【典例】某质点的运动方程为s=s(t)=2t2+3t,其中s是位移(单位:m),t是时间(单位:s).(1)求当t从1 s变到3 s时,位移s关于时间t的平均变化率,并解释它的实际意义.(2)求s'(1),s'(2),并解释它们的实际意义.
【解析】(1)当t从1 s变到3 s时,s关于t的平均变化率为===11(m/s).它表示从t=1 s到t=3 s这段时间内,该质点平均每秒的位移是11 m.(2)由导数公式表和导数的运算法则可得s'(t)=4t+3,则s'(1)=4+3=7(m/s),s'(2)=4×2+3=11(m/s).s'(1)表示的是该质点在t=1 s时的瞬时速度,也就是该质点在t=1 s这个时刻的瞬时速度为7 m/s.s'(2)表示的是该质点在t=2 s时的瞬时速度,也就是该质点在t=2 s这个时刻的瞬时速度为11 m/s.
【解题策略】三角度理解导数在物理学中的意义(1)正确理解导数的定义,按照导数的定义去思考实际问题.(2)看函数值的改变量Δy及自变量的改变量Δx的实际意义.(3)看Δx趋于0时,趋于一个固定值的实际意义.
【跟踪训练】某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3,y是x的函数,且y=f(x)=.(1)当x从1变到8时,y关于x的平均变化率是多少?(2)求f'(27),并解释它的实际意义.【解析】(1)当x从1变到8时,y关于x的平均变化率为==(m3/min).(2)f'(x)=,于是f'(27)=×2=(m3/min),实际意义为当时间为27 min时,水流量增加的速度为 m3/min,也就是当时间为27 min时,每增加1 min,水流量增加 m3.
类型二 导数在经济生活中的应用(数学运算、数学抽象)【典例】已知某厂生产某种型号口罩的最大生产能力为每日100件,假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)=x2+60x+2 050.求当日产量由10件提高到20件时,总成本的平均改变量,并说明其实际意义.【解析】当x从10件提高到20件时,总成本C从C(10)=2 675元变到C(20)=3 350元.此时总成本的平均改变量为=67.5(元/件),其表示日产量从10件提高到20件时平均每件产品的总成本的改变量.
【一题多变】1.典例的条件不变,求当日产量为75件时的边际成本,并说明其实际意义.【解析】因为C'(x)=x+60,所以C'(75)=×75+60=97.5(元/件),它指的是当日产量为75件时,每多生产一件产品,需增加成本97.5元.2.典例的条件“C(x)=x2+60x+2 050”变为“C(x)=x2+ax+2 050,当日产量为75件时的边际成本大于97.5元/件”,求a的取值范围.【解析】因为C'(x)=x+a,所以日产量为75件时的边际成本大于97.5元/件,即C'(75)=×75+a>97.5,解得a>60.即a的取值范围为{a|a>60}.
【解题策略】解决实际问题的一般步骤(1)审题:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题的主要关系.(2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型.(3)解模:把数学问题化归为常规问题,选
2023-2024学年北师大版选择性必修第二册 第二章 §7 7.1 实际问题中导数的意义 (课件)
