知识探究·素养培育探究点一 直线与圆的位置关系[问题1] 由平面几何知,直线l与圆C有相交、相切、相离三种位置关系,如果把直线l与圆C放在平面直角坐标系中,你能根据直线l与圆C的方程,使用解析几何的方法(代数方法)刻画上述三种位置关系吗?提示:思路1 根据平面几何知识,当圆心C到直线l的距离小于圆的半径r时,直线l与圆C相交;当圆心C到直线l的距离等于圆的半径r时,直线l与圆C相切;当圆心C到直线l的距离大于圆的半径r时,直线l与圆C相离.反之上述结论也成立.即直线l与圆C相交⇔d<r;直线l与圆C相切⇔d=r;直线l与圆C相离⇔d>r.
思路2 在平面直角坐标系中,把直线l的方程与圆C的方程组成方程组,如果该方程组有两组不同的实数解,说明直线l与圆C有两个不同的公共点,此时直线l与圆C相交,反之,如果直线l与圆C相交,则交点的坐标同时满足直线l的方程和圆C的方程,由此可知,直线l与圆C相交的充要条件是直线l与圆C的方程组成的方程组有两组不同的实数解.同理,直线l与圆C相切的充要条件是直线l与圆C的方程组成的方程组只有一组实数解;直线l与圆C相离的充要条件是直线l与圆C的方程组成的方程组无实数解.
知识点1:直线与圆的位置关系已知直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0)和圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心C(a,b)到直线l的距离d= (A,B不全为0),
[思考1] 上述解决直线与圆的位置关系问题可以认为是“距离法”和“方程组法”,你能概括它们的优劣吗?提示:使用“距离法”在计算中要简单一些,但如果是要具体求出直线与圆的交点坐标,则只能使用“方程组法”,两种方法各自具有其使用的具体环境,要根据实际情况选取.
[例1-1] (2020·河南周口高三月考)已知直线l:3x-4y+m=0与圆C:x2+y2-6x+4y-3=0有公共点,则实数m的取值范围为( )(A)(3,37) (B)[-37,3](C)[3,4] (D)[-4,4]
(1)记点E的轨迹为曲线C,求曲线C的方程;
方法总结当需要用到直线与圆的交点坐标或者交点坐标之间的关系时,需要把直线方程与圆的方程联立消掉一个变量,得出一个一元二次方程,解方程或者根据根与系数的关系确定点的坐标或坐标间的关系.
变式训练1-1:(2020·辽宁抚顺期中)直线ax-y+2a=0与圆x2+y2=11的位置关系是( )(A)相离 (B)相交(C)相切 (D)不确定解析:易知直线ax-y+2a=0过定点P(-2,0),又(-2)2+02=4<11,所以点P在圆内,所以直线与圆相交.故选B.
变式训练1-2:(2020·湖北十堰期中)已知斜率为k且过点M(0,1)的直线l与圆(x-2)2+(y-3)2=1相交于不同两点A,B.(1)求实数k的取值范围;
探究点二 圆的切线方程的求法[问题2] 我
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第一册 直线与圆的位置关系 课件
