01题型突破·析典例
题型一 单变量恒成立求参数范围问题【例1】 已知函数f（x）＝ln x.若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2＋1恒成立，求实数a的取值范围.解 因为对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2＋1恒成立，所以在x＞0时恒成立，进一步转化为（）max≤a≤（x＋）min.
设h（x）＝（x＞0），则h'（x）＝，令h'（x）＝0，得x＝e，当x∈（0，e）时，h'（x）＞0；当x∈（e，＋∞）时，h'（x）＜0，所以h（x）≤.要使f（x）≤ax恒成立，必须a≥.另一方面，当x＞0时，x＋≥2，要使ax≤x2＋1恒成立，必须a≤2，所以满足条件的a的取值范围是［，2］.
通性通法1.对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论，求出参数的取值范围.2.利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如a≥f（x）（或a≤f（x））的形式，通过求函数y＝f（x）的最值求得参数范围.一般地，若a＞f（x）对x∈D恒成立，则只需a＞f（x）max；若a＜f（x）对x∈D恒成立，则只需a＜f（x）min.
已知f（x）＝ex－ax2，若f（x）≥x＋（1－x）ex在[0，＋∞）恒成立，则实数a的取值范围为 . 解析：f（x）≥x＋（1－x）ex，即ex－ax2≥x＋ex－xex，即ex－ax－1≥0，x≥0.令h（x）＝ex－ax－1（x≥0），则h'（x）＝ex－a（x≥0），当a≤1时，由x≥0知h'（x）≥0，∴在[0，＋∞）上h（x）≥h（0）＝0，原不等式恒成立.
当a＞1时，令h'（x）＞0，得x＞ln a；令h'（x）＜0，得0≤x＜ln a.∴h（x）在[0，ln a）上单调递减，又∵h（0）＝0，∴h（x）≥0不恒成立，∴a＞1不合题意.综上，实数a的取值范围为（－∞，1].答案：（－∞，1]
题型二 单变量能成立求参数范围问题【例2】 已知函数f（x）＝ax－ex（a∈R），g（x）＝，若∃x∈（0，＋∞），使不等式f（x）≤g（x）－ex成立，求a的取值范围. 解 因为∃x∈（0，＋∞），使不等式f（x）≤g（x）－ex成立，则ax≤，即a≤.设h（x）＝，则问题转化为a≤（）max.由h'（x）＝，令h'（x）＝0，得x＝.
x（0，）（，＋∞）h'（x）＋0－h（x）↗极大值↘xh'（x）＋0－h（x）↗↘由上表可知，当x＝时，函数h（x）有极大值，即最大值为，所以a≤.故a的取值范围是（－∞，］. 当x在区间（0，＋∞）内变化时，h'（x），h（x）随x的变化情况如下表：
通性通法1.含参数的能成立（存在型）问题的解题方法a≥f（x）在x∈D上能成立，则a≥f（x）min；a≤f（x）在x∈D上能成立，则a≤f（x）max.
2.不等式能成立问题的解题关键点
已知函数f（x）＝x－aln x，g（x）＝－（a∈R）. （1）设函数h（x）＝f（x）－g（x），讨论函数h（x）的单调性；解：（1）h（x）＝x＋－aln x（x＞0），h'（x）＝1－－＝＝.①当1＋a＞0，即a＞－1时，在（0，1＋a）上h'（x）＜0，在（1＋a，＋∞）上h'（x）＞0，所以h（x）在（0，1＋a）上单调递减，
在（1＋a，＋∞）上单调递增；②当1＋a≤0，即a≤－1时，在（0，＋∞）上h'（x）＞0，所以函数h（x）在（0，＋∞）上是增函数，综上所述，当a＞－1时，h（x）在（0，1＋a）上单调递减，在（1＋a，＋∞）上单调递增；当a≤－1时，函数h（x）在（0，＋∞）上是增函数.
（2）若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围.解：（2）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0，即函数h（x）＝x＋－aln x在[1，e]上的最小值小于零.由（1）可知：①当1＋a≥e，即a≥e－1时，h（x）在[1，e]上单调递减，所以h（x）的最小值为h（e），由h（e）＝e＋－a＜0可得a＞.
②当1＋a≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，所以h（x）的最小值为h（1），由h（1）＝1＋1＋a＜0可得a＜－2.③当1＜1＋a＜e，即0＜a＜e－1时，可得h（x）的最小值为h（1＋a）.因为0＜ln（1＋a）＜1，所以0＜aln（1＋a）＜a.故h（1＋a）＝2＋a－aln（1＋a）＞2，此时，h（1＋a）＜0不成立.综上所述，所求a的取值范围是（－∞，－2）∪（，＋∞）.
题型三 双变量恒（能）成立求参数范围问题【例3】 已知函数f（x）＝x3＋x2＋ax，函数g（x）＝，若对∀x1∈［，2］，∃x2∈［，2］，使f'（x1）≤g（x2）成立，求实数a的取值范围. 解 “对∀x1∈［，2］，∃x2∈［，2］，使f'（x1）≤g（x2）成立”等价于“当x∈［，2］时，f'（x）max≤g（x）max”.因为f'（x）＝x2＋2x＋a＝（x＋1）2＋a－1在［，2］上单调递增，所以f'（x）max＝f'（2）＝8＋a.
而g'（x）＝，由g'（x）＞0，得x＜1，由g'（x）＜0，得x＞1，所以g（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.所以当x∈［，2］时，g（x）max＝g（1）＝.由8＋a≤，得a≤－8，所以实数a的取值范围为（－∞，－8］.
通性通法常见的双变量不等式恒（能）成立问题的类型（1）对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f（x1）≤g（x2）⇔f（x）max≤g（x）max；（2）对于
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第二册利用导数研究恒成立
