章末复习与总结
一、数学运算 在本章中,通过三角函数的定义域、值域问题以及三角函数求值问题进一步培养学生的数学运算核心素养.
培优一 三角函数的定义域、值域问题【例1】 (1)函数y= 的定义域为 ,值域为 ; (1)解析 要使函数y=有意义,则cos x-≥0,即cos x≥.解得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.故函数的定义域为,k∈Z.又∴0≤≤,即函数的值域为. 答案 ,k∈Z
(2)求函数y=-2sin+3,x∈[0,π]的最大值和最小值. (2)解 ∵x∈[0,π],∴x+∈,∴-≤sin≤1.∴当sin=1,即x=时,y取得最小值1;当sin=-,即x=π时,y取得最大值4.故函数f(x)在区间[0,π]上的最大值为4,最小值为1.
培优二 利用三角函数的性质求最值【例2】(1)若y=,则ymax= ,ymin= ; (1)解析 ∵y=,∴(2+cos x)y=2-cos x,得(y+1)cos x=2-2y,∴cos x=.又∵-1≤cos x≤1,∴-1≤≤1,解得≤y≤3,即ymax=3,ymin=. 答案 3
(2)已知函数y=asin+b在x∈上的值域为[-5,1],求a,b的值. (2)解 ∵x∈,∴2x+∈,sin∈.∴当a>0时,解得当a<0时,解得∴a,b的取值分别是4,-3或-4,-1.
培优三 化简求值问题【例3】 (1)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P,则sin(α+π)= ; (1)解析 由角α的终边过点P,得sin α=-,∴sin(α+π)=-sin α=. 答案
(2)化简. (2)解 原式===1.
培优四 利用三角函数性质求值【例4】 (2022·新高考Ⅰ卷)记函数f(x)=sin(ωx+)+b(ω>0)的最小正周期为T.若<T<π,且y=f(x)的图象关于点中心对称,则f=( ) A.1B.C.D.3A.1D.3
解析 因为<T<π,所以<<π,解得2<ω<3.因为y=f(x)的图象关于点中心对称,所以b=2,且sin+b=2,即sin=0,所以ω+=kπ(k∈Z),又2<ω<3,所以<ω+<,所以ω+=4π,解得ω=,所以f(x)=sin+2,所以f=sin+2=sin +2=1.故选A.
二、逻辑推理 逻辑推理在本章中主要体现在任意角的三角函数的定义、有关弧长和面积的计算、图象变换、三角函数式的化简与证明等问题中.
培优五 三角函数的定义及有关弧长、面积的计算【例5】 (1)若-<α<0,则点P(tan α,cos α)位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 (1)因为-<α<0,所以tan α<0,cos α>0,所以点P(tan α,cos α)位于第二象限.
(2)如图,△ABC是正三角形,曲线CD
2023-2024学年北师大版高中数学必修第二册 第一章三角函数 复习与总结 (课件)