探究1 分组转化法求和例1已知<m></m>是各项均为正数的等比数列，且<m></m>，<m></m>． （1）求数列<m></m>的通项公式； （2）设<m></m>，求数列<m></m>的前<m></m>项和<m></m>. 方法指导（1）根据题中已知条件，列出方程组，求<m></m>； （2）利用分组求和的方法求出<m></m>.
[解析]（1）设等比数列<m></m>的公比为<m></m>，且<m></m>，<m></m>，由题意得<m></m>化简得<m></m>解得<m></m>所以<m></m>.
（2）由（1）知<m></m>.因此<m></m>.
方法总结分组转化法求和的常见类型（1）通项公式为<m></m>的数列，其中<m></m>，<m></m>为等差或等比数列，可采用分组转化法求数列<m></m>的前<m></m>项和； （2）通项公式为<m></m>的数列，其中数列<m></m>，<m></m>是等比或等差数列，可采用分组转化法求数列<m></m>的前<m></m>项和．
针对训练1已知数列<m></m>的前<m></m>项和<m></m>，<m></m>． （1）求数列<m></m>的通项公式； （2）设<m></m>，求数列<m></m>的前<m></m>项和． [解析]（1）当<m></m>时，<m></m>；当<m></m>时，<m></m>．又<m></m>也满足<m></m>，故数列<m></m>的通项公式为<m></m>．（2）由（1）知<m></m>，故<m></m>．记数列<m></m>的前<m></m>项和为<m></m>，则<m></m>．记<m></m>，<m></m>，则<m></m>，<m></m>．故数列<m></m>的前<m></m>项和<m></m>．
探究2 裂项相消法求和例2已知数列<m></m>的前<m></m>项和为<m></m>，数列<m></m>是首项为<m></m>，公差为<m></m>的等差数列，且<m></m>，<m></m>，<m></m>成等比数列． （1）求数列<m></m>与<m></m>的通项公式； （2）若<m></m>，求数列<m></m>的前<m></m>项和<m></m>． 方法指导（1）根据<m></m>，结合<m></m>即可求出数列<m></m>的通项公式，再根据<m>，</m><m></m>，<m></m>成等比数列，列出等式，即可求出<m></m>的通项公式；（2）利用裂项求和的方法求出<m></m>.
[解析]（1）当<m></m>时，<m></m>，又<m></m>，也满足上式，所以数列<m></m>的通项公式为<m></m>，则<m></m>．由<m></m>，<m></m>，<m></m>成等比数列，得<m></m>，解得<m></m>或<m></m>（舍去），所以数列<m></m>的通项公式为<m></m>．（2）由（1）得<m></m>，所以数列<m></m>的前<m></m>项和<m></m>．
【变式设问】若将本例中第（2）问的条件改为“<m></m>”，求数列<m></m>的前<m></m>项和<m></m>． 提示由题意得<m></m>，所以数列<m></m>的前<m></m>项和<m></m>．
方法总结利用裂项相消法求和时，应注意抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原项相等.如：若<m></m>是等差数列，则<m></m>．
针对训练2已知等差数列<m></m>满足<m></m>，<m></m>． （1）求等差数列<m></m>的通项公式； （2）设<m></m>，<m></m>，求数列<m></m>的前<m></m>项和<m></m>． [解析]（1）设等差数列<m></m>的公差为<m></m>，则由题意可得<m></m>解得<m></m>所以<m></m>．（2）因为<m></m><m></m>,所以<m></m>．
探究3 错位相减法求和例3已知等差数列<m></m>满足<m></m>,<m></m>. （1）求数列<m></m>的通项公式； （2）求数列<m></m>的前<m></m>项和. 方法指导（1）由已知条件，可求出首项<m></m>和公差<m></m>，即可求出<m></m>;（2）利用错位相减法求数列<m></m>的前<m></m>项和.
[解析]（1）设等差数列<m></m>的公差为<m></m>，由已知条件可得<m></m>解得<m></m>故数列<m></m>的通项公式为<m></m>.（2）设数列<m></m>的前<m></m>项和为<m></m>,<m></m>，<m></m>.
记<m></m>,①则<m></m>,②由①-②得<m></m>，<m></m>，<m></m>.
方法总结 错位相减法求和的策略（1）如果数列<m></m>是等差数列，<m></m>是等比数列，求数列<m></m>的前<m></m>项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列<m></m>的公比，然后作差求解； （2）在写“<m></m>”与“<m></m>”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“<m></m>”的表达式； （3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
针对训练3已知<m></m>是各项均为正数的等比数列，且<m></m>，<m></m>． （1）求数列<m></m>的通项公式； （2）若<m></m>为各项非零的等差数列，其前<m></m>项和为<m></m>，且<m></m>，求数列<m></m>的前<m></m>项和<m></m>． [解析]（1）设等比数列<m></m>的公比为<m></m>，由题意知<m></m>，<m></m>．又<m></m>，解得<m></m>，<m></m>，所以<m></m>．
（2）由题意知，<m></m>，又<m></m>，<m></m>，所以<m></m>．令<m></m>，则<m></m>，因此<m></m>，<m></m>，两式相减得<m></m>，所以<m></m>．
探究4 倒序相加法求和例4已知<m></m>，且<m></m>，则<m></m>_______． <m></m> [解析]因为<m></m>，所以<m></m>.因为<m></m>，所以<m></m>，两式相加得<m></m>，所以<m></m>．
方法总结若一个数列<m></m>的前<m><
2023-2024学年北师大版选择性必修第二册 习题课4 数列的求和 (课件)
