2023-2024学年人教A版必修第二册 7.1.2 复数的几何意义 教案

§7.1.2 复数的几何意义 一、内容和内容解析 内容：复数的几何意义． 内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书 - 必修第二册》（人教 A 版）第七章第 1 节第二课时的内容．通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用 . 本节课是在学生学习了复数的概念之后，对复数概念的进一步理解和深化，为下一节课复数加法和减法几何意义的学习提供了理论支撑。因此，本节课具有承上启下的作用。同时对加深学生对数形结合思想的认识，发展学生的思维能力具有重要意义。 二、目标和目标解析 目标： （ 1 ）理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系． （ 2 ）掌握实轴、虚轴、模等概念． （ 3 ）掌握用向量的模来表示复数的模的方法． 目标解析： （ 1 ）复数的几何意义，沟通了复数与平面向量、有序等知识的联系，为解决平面向量、三角函数 和平面几何问题提供了一种重要途径，实现了数与形，代数与几何之间的沟通 . （ 2 ）本节内容突出了复数的几何意义，体现了形与数的融合，此外，本节的知识也蕴含了化归与转化的数学思想，如，某些复数问题可以转化为平面向量问题去解决、某些平面向量问题也可以转化成复数问题去解决等，再有，本节在研究过程中也运用了类比的研究方法，运用好本节的相关知识素材，让学生体会这些数学思想方法，有助于提升他们的直观想象和逻辑推理素养 . 基于上述分析，本节课的 教学重点 定为： 复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系， 掌握用向量的模来表示复数的模的方法 ． 三、教学问题诊断分析 教学问题一： 在知识储备上，学生已经经历了数系扩充的过程，学习了复数的概念，但研究复数的几何意义，从思维角度看学生还缺乏经验；因此，在研究其几何意义，探究复数 a+bi 和平面上的点 Z(a ， b) 以及向量 OZ 一一对应时有一定难度 . 解决方案： 在讲解本节前，可提前布置一些预习作业，让学生为新课的学习做好知识准备，或者在课上先复习平面向量的相关知识，再进行新课的学习和探究，探究时要充分注意复数与平面向量的联系性，这是突破难点的一个重要举措 ． 教学问题二：复数模的 几何意义是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：复习初中学过的圆的定义，距离的定义，将模与距离，与向量的模相类比，从而突破这一难点． 基于上述情况，本节课的 教学难点 定为： 理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表 示复数及它们之间的一一对应关系 ． 四、教学策略分析 本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、类比得到复数的几何意义，应该为学生创造积极探究的平台．可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来． 在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究突出教学重点，突破教学难点． 在教学过程中，重视复数几何意义的探究，让学生体会类比推理的基本过程，同时，复数模的几何意义是数形结合的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试． 五、教学过程与设计 教学环节 问题或任务 师生活动 设计意图 复习回顾，温故知新 [ 问题 1] 复数的概念？ [ 问题 2] 复数相等的充要条件？ [ 问题 3] 复数的分类？ 教师 1 ：提出问题 1 ． 学生 1 ：形如 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R) 的数叫做复数 教师 2 ：提出问题 2 ． 学生 2 ： 设 a ， b ， c ， d 都是实数，那么 a ＋ b i ＝ c ＋ d i ⇔ a ＝ c 且 b ＝ d . 教师 3 ：提出问题 3 ． 学生 3 ： z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R) 通过复习，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。 探索交流，解决 问题 [ 问题 4] 我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示。那么，复数有什么几何意义呢？ [ 问题 5] 复数与复平面 内以原点为起点的向量有怎样的对应关系？ [ 问题 6] 向量 的模与点 Z 有什么关系？ 教师 4 ：提出问题 4 ． 学生 4 ： 复数与复平面内的点有一一对应关系 . 教师 5 ：提出问题 5 ． 学生 5 ： 一一对应关系． 教师 6 ：提出问题 6. 学生 6 ： 向量 的模等于点 Z 到原点的距离． 教师 7 ：复数的几何意义： 1. 复平面 　复平面中点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部。 2 . 复数的几何意义 (1) 复数 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ) 复平面内的点 Z ( a ， b ). (2) 复数 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ) 平面向量 . 3. 复数的模 (1) 定义：向量 的模叫做复数 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ) 的模或绝对值 . (2) 记法：复数 z ＝ a ＋ b i 的模记为 | z | 或 | a ＋ b i|. (3) 公式： | z | ＝ | a ＋ b i| ＝ ( a ， b ∈ R ). 如果 b ＝ 0 ，那么 z ＝ a ＋ b i 是一个实数，它的