新定义问题解题方法与模型——方程与不等式中的新定义问题 九年级下学期通用版

新定义问题解题方法与模型 —— 方程与不等式中的新定义问题 考试时间： 100 分钟；命题人：中学升学考试命题与预测组 一．选择题（共 8 小题） 1 ．数学小组定义一种新运算 “ ⊗ ” ： a ⊗ b ＝ a + b + ab ﹣ 1 ，例如： 2 ⊗ 3 ＝ 2+3+2×3 ﹣ 1 ＝ 10 ．如果 2 ⊗ x ＝ 5 ，则 x 的值是（　　） A ．﹣ 1 B ． 1 C ． D ． 2 2 ．对于任意的正数 m ， n ，定义运算※： m ※ n ＝ ，计算（ 3 ※ 2 ） × （ 8 ※ 12 ）（　　） A ． 2 ﹣ 4 B ． 2 C ． 2 D ． 20 3 ．定义：不大于实数 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记作 [ x ] ，例如 ，若 ，则 x 的取值范围为（　　） A ． B ． C ． D ． 4 ．对于任意实数 a ， b ，规定 a * b ＝ a + b + ab ，已知 m * （ m +1 ），则实数 m 的值为（　　） A ．﹣ 1 或 2 B ． 1 或﹣ 2 C ． 1 或 2 D ．﹣ 1 或﹣ 2 5 ．我们用 [ a ] 表示不大于 a 的最大整数；用（ a ）表示大于 a 的最小整数．下列说法： ① [2.5] ＝ 2 ，（﹣ 2 ）＝﹣ 1 ； ② 如果 ，则满足条件的所有正整数 x 只有 7 和 8 ； ③ 已知 x ， y 满足方程组 ，则 x ， 2 ＜ y ＜ 3 ． 其中正确的个数为（　　） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 6 ．定义 [ x ] 表示不大于 x 的最大整数，如： [3.2] ＝ 3 ， [ ﹣ 3.2] ＝﹣ 4 ，则方程 [ x ]+2 ＝ 2 x 所有解的和为（　　） A ． B ． C ． D ． 7 ．设 m ， n 为实数，定义如下一种新运算： m ☆ n ＝ （ x ☆ x ）＝（ x ☆ 12 ） +1 无解，则 a 的值是（　　） A ． 4 B ．﹣ 3 C ． 4 或﹣ 3 D ． 4 或 3 8 ．若定义一种新运算： ，例如： 1@2 ＝ 1 ﹣ 2 ＝﹣ 1 ， 4@3 ＝ 4+3 ﹣ 3 ＝ 4 ．下列说法： ① ﹣ 7@9 ＝﹣ 16 ； ② 若 1@ （ x 2 ﹣ x ）＝﹣ 1 ，则 x ＝﹣ 1 或 2 ； ③ 若﹣ 2@ （ 3+4 x ） ≤ ﹣ 5 ，则 x ≥0 或 ； ④ y ＝（﹣ x +1 ） @ （ x 2 ﹣ 2 x +1 ）与直线 y ＝ m （ m 为常数）有 1 个交点，则﹣ 3 ＜ m ＜﹣ 1 ． 其中正确的个数是（　　） A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 二．填空题（共 8 小题） 9 ．对于有理数 x ， y ，定义一种新运算 “ ⊗ ” ： x ⊗ y ＝ ax + by ，其中 a ，已知 3 ⊗ 4 ＝ 1 ，（﹣ 1 ） ⊗ 2 ＝ 3 ，则 ＝ 　 　 ． 10 ．定义一种新运算： a * b ＝ a ﹣ b ．若（ x +3 ） * （ 2 x ﹣ 1 ），则根据定义的运算求出 x 的值为 　 　 ． 11 ．新定义：对于实数 x ，我们规定 [ x ] 表示不大于 x 的最大整数，例如 [2.3] ＝ 2 ， [ ﹣ 2.5] ＝﹣ 3 ，如果 [ x ﹣ 1] ＝﹣ 2 　 　 ． 12 ．对 x ， y 定义一种新运算 T ，规定： （其中 a 、 b 均为非零常数），例如： ． （ 1 ）已知 ， T （﹣ 1 ， 1 ）＝﹣ 1 ，则 a + b 的值为 　 　 ； （ 2 ）若 T （ m ， m +2 ）＝﹣ 3 ，则 m 的值为 　 　 ． 13 ．定义新运算：对于任意实数 a 、 b 约定关于 ⊗ 的一种运算如下： a ⊗ b ＝ 2 a + b ．例如：（﹣ 3 ） ⊗ 2 ＝ 2× （﹣ 3 ） +2 ＝﹣ 4 ．若 x ⊗ （﹣ y ），且 2 y ⊗ x ＝ 7 ，则 x + y 的值是 　 　 ． 14 ．定义新运算 “ ※ ” ：对于实数 m ， n ， P ， q ，有 [ m ， p ] ※ [ q ，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如： [2 ， 5] ＝ 2×5+3×4 ＝ 22 ，若关于 x 的方程 [ x 2 +1 ， x ] ※ [5 ﹣ 2 k ， k ] ＝ 0 ，则 k 的值是 　 　 ． 15 ．我们知道，任意一个正整数 n ，都可以进行这样的分解： n ＝ p × q （ p ， q 是正整数，且 p ≤ q ），如果 p ， q 两因数之差的绝对值最小 ．例如 12 可以分解成 1×12 ， 2×6 ，因为 |12 ﹣ 1| ＞ |6 ﹣ 2| ＞ |4 ﹣ 3| ，所以 3×4 是 12 的最佳分解 ．如果一个两位正整数 t ， t ＝ 10 x + y （ 1≤ x ≤ y ≤9 ， x ， y 为自然数），那么我们称这个数 t 为 “ 顺顺数 ” ，求所有 “ 顺顺数 ” 中 F （ t ） 　 　 ． 16 ．对 x 、 y 定义一种新运算 T ，规定： T （ x ， y ）＝ axy + bx ﹣ 4 （其中 a 、 b 均为非零常数）（ 0 ， 1 ）＝ a ×0×1+ b ×0 ﹣ 4 ＝﹣ 4 ，若 T （ 2 ， 1 ）， T （﹣ 1 ， 2 ）＝﹣ 8 ，则下列结论正确的有 　 　 ． ① a ＝ 1 ， b ＝ 2 ； ② 若 T （ m ， n ）＝ 0 （ n ≠ ﹣ 2 ），则 ； ③ 若 T （ m ， n ）＝ 0 ，则 m 、 n 有且仅有 3 组整数解； ④ 若无论 k 取何值时， T （ kx ， y ）的值均不变，则 y ＝﹣ 2 ； ⑤ 若 T （ kx ， y ）＝ T （ ky ， x ）对任意有理数 x 、 y 都成立 三．解答题（共 9 小题） 17 ．对于实数 x 、 y ，定义一种新运算 x * y ＝ ax + by ，其中 a 、 b 是常数，已知 1*2 ＝ 1 ，（﹣ 3 ） *3 ＝ 6 ． （ 1 ）分别求出 a 、 b 的值； （ 2 ）根据上述定义的新运算，请求 2* （﹣ 4 ）的值． 18 ．对于任意实数 a ， b ，定义关于 “ ☒ ” 的一种运算如下： a ☒ b ＝ 2 a ﹣ b ．例如： 5 ☒ 2 ＝ 2×5 ﹣ 2 ＝ 8 ，（﹣ 3 ） ☒ 4 ＝ 2× （﹣ 3 ） （ 1 ）若 3 ☒ x ＝﹣ 2014 ，求 x 的值； （