2023-2024学年人教A版必修第二册 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 教案

§7.2.1 复数的加减运算及其几何意义 一、内容和内容解析 内容：复数的加减运算及其几何意义． 内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书 - 必修第二册》（人教 A 版）第七章第 2 节第一课时的内容．复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的加法的运算法则是一种规定，复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得出的 . 渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材 . 通过实例，明确复数的加减运算法则，发展数学运算素养 . 经历复数加减运算的几何意义的形成过程，提高直观想象的核心素养，发展逻辑推理素养 . 二、目标和目标解析 目标： （ 1 ） 通过对定义复数加法法则的背景的分析，体会规定复数加法法则的合理性 . （ 2 ） 明确复数加法法则和减法法则的具体内容，经历应用法则解决复数加、减运算问题的过程，提升数学运算的核心素养 . （ 3 ） 经历复数代数形式的减法定义和复数加、减法几何意义的形成过程，培养直观想象的核心素养 . 目标解析： （ 1 ）复数的加法法则是直接规定的，教学中可以引导学生结合引入 复数集的过程，即在将实数集扩充到复数集时，希望数集扩充后，在复数集中规定的加法、乘法运算，与实数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且运算律也满足． （ 2 ）引入加法法则后，应引导学生多与多项式的加法进行类比，发现两者的共性 . 教学时可以引导学生把复数 a+bi 中的实部和虚部 a,b 看作常数， i 看作 “ 变元 ” ，从而将复数 a+bi 看成是 “ 一次二项式 ” ，进而可以得到两个复数相加与两个多项式相加类似，可以看成是 “ 合并同类项 ”. 基于上述分析，本节课的 教学重点 定为： 熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则 ． 三、教学问题诊断分析 教学问题一： 在知识储备上，学生已经经历了数系扩充的过程，学习了复数的概念及其几何意义，知道复数 a+bi 和平面上的点 Z(a ， b) 以及向量 OZ 一一对应；但探究复数加法的几何意义有一定难度 . 解决方案： 在讲解本节前，可在课上先复习平面向量和复数的几何意义等相关知识，再进行新课的学习和探究，这是突破难点的一个重要举措 . 教学问题二：复数加法的几何意义是本节课的第二个教学问题．这不仅是本节课的重点，也是教学难点．解决方案：通过类比向量加法的几何意义得到复数加 法的几何意义． 教学问题三：如何得到复数的减法是第三个教学问题．学生很容易把类比向量的减法得到复数的减法．其实，类比多项式的加减我们既可以得到复数的加法法则，也可以得到复数的减法法则． 基于上述情况，本节课的 教学难点 定为： 理解复数加减法的几何意义，能够利用 “ 数形结合 ” 的思想解题 ． 四、教学策略分析 本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到复数的加减运算及其几何意义，应该为学生创造积极探究的平台．可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来． 在教学设计中，采取问题 引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点． 在教学过程中，重视加减法法则的发现与证明，让学生体会到类比思想的重要性． 五、教学过程与设计 教学环节 问题或任务 师生活动 设计意图 复习回顾，温故知新 [ 问题 1] 试判断下列复数 在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。 [ 问题 2] 同时用坐标和几何形式表示复数 所对应的向量，并计算 [ 问题 3] 向量的加减运算满足何种法则？ 教师 1 ：提出问题 1 ． 学生 1 ： 学生思考 , 完成 . 教师 2 ：提出问题 2 ． 学生 2 ： 学生思考 , 完成 . 教师 3 ：提出问题 3 ． 学生 3 ： 学生思考 , 完成 . 通过复习，为引入本节新课做好铺垫。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。 探索交流， 解决问题 [ 问题 4] 设向量 ， 分别与复数 a ＋ b i ， c ＋ d i 对应，那么 ＋ 的坐标如何呢？ [ 问题 5] 向量 ＋ 对应的复数是什么？ [ 问题 6] 按照平面向量减法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？ [ 问题 7] 类比绝对值 | x － x 0 | 的几何意义， | z － z 0 |( z ， z 0 ∈ C) 的几何意义是什么？ 教师 4 ：提出问题 4 ． 学生 4 ： ＝ ( a ， b ) ， ＝ ( c ， d ) ， ＋ ＝ ( a ＋ c ， b ＋ d ) ． 教师 5 ：提出问题 5 ． 学生 5 ： 向量 ＋ 对应的复数是 a ＋ c ＋ ( b ＋ d )i ，也就是 z 1 ＋ z 2 . 　 教师 6 ：提出问题 6 ． 学生 6 ： 复数 z 1 － z 2 的几何意义就是向量 － 对应的复数． 教师 7 ：小结一下： 1. 加、减法的运算法则 设 z 1 ＝ a ＋ b i ， z 2 ＝ c ＋ d i( a ， b ， c ， d ∈ R ) 是任意两个复数， 则 z 1 ＋ z 2 ＝ ( a ＋ c ) ＋ ( b ＋ d )i ， z 1 － z 2 ＝ ( a － c ) ＋ ( b － d )i ． 2. 加法运算律 对任意 z 1 ， z 2 ， z 3 ∈ C ，有 ① 交换律： z 1 ＋ z 2 ＝ z 2 ＋ z 1 ． ② 结合律： ( z 1 ＋ z 2 ) ＋ z 3 ＝ z 1 ＋ ( z 2 ＋ z 3 ) ． 3. 复数加、减法的几何