2023-2024学年北师大版高中数学必修第二册 第四章提升课 三角恒等变换的综合问题 （课件）

三维提升课　三角恒等变换的综合问题 题型突破·析典例01知能演练·扣课标02目录CONTENTS 01题型突破·析典例 02知能演练·扣课标 ⁠ ⁠题型一　三角恒等变换与解三角形【例1】　（2022·全国乙卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin（A－B）＝sin Bsin（C－A）.（1）证明：2a2＝b2＋c2；解　（1）证明：法一　由sin Csin（A－B）＝sin Bsin（C－A）可得，sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B＝sin Bsin Ccos A－sin Bcos Csin A，结合正弦定理＝＝可得accos B－bccos A＝bccos A－abcos C，即accos B＋abcos C＝2bccos A. （*）由余弦定理可知accos B＝，abcos C＝，2bccos A＝b2＋c2－a2，代入（*）式整理得2a2＝b2＋c2.  法二　因为A＋B＋C＝π，所以sin Csin（A－B）＝sin（A＋B）·sin（A－B）＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A（1－sin2B）－（1－sin2A）sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sin Bsin（C－A）＝sin（C＋A）sin（C－A）＝sin2C－sin2A，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，由正弦定理可得2a2＝b2＋c2. （2）若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长. 解 （2）由（1）及a2＝b2＋c2－2bccos A得，a2＝2bccos A，所以2bc＝31.因为b2＋c2＝2a2＝50，所以（b＋c）2＝b2＋c2＋2bc＝81，得b＋c＝9， 所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14. 通性通法解三角形与三角恒等变换综合问题的一般步骤 ⁠ ⁠（2022·新高考Ⅰ卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. （1）若C＝，求B； 解：（1）因为＝，所以＝，所以＝，所以cos Acos B＝sin B＋sin Asin B，  所以cos（A＋B）＝sin B，所以sin B＝－cos C＝－cos ＝，因为B∈，所以B＝.  （2）求的最小值. 解：（2）由（1）得cos（A＋B）＝sin B，所以sin＝sin B，且0＜A＋B＜，所以0＜B＜，0＜－（A＋B）＜，所以－（A＋B）＝B，解得A＝－2B，由正弦定理得＝＝＝  ＝＝＝＝4cos2B＋－5≥2－5＝4－5，当且仅当cos2B＝时取等号，所以的最小值为4－5.  题型二　三角恒等变换与三角函数【例2】　已知函数f（x）＝sin（2ωx－）－4sin2ωx＋a（ω＞0），其图象相邻两个最高点之间的距离为π. （1）求函数f（x）的单调递增区间；解　（1）f（x）＝sin 2ωx－cos 2ωx－4×＋a＝sin 2ωx＋cos 2ωx－2＋a＝sin（2ωx＋）＋a－2.由已知得函数f（x）的最小