课标定位素养阐释1.理解等比数列的定义.2.掌握等比数列的通项公式及其应用.3.熟练掌握等比数列的判定方法.4.加强逻辑推理能力和数学运算的培养.
自主预习 新知导学
一、等比数列的定义【问题思考】1.数列:(1)1,3,9,27,81,…;(2)1,-1,1,-1,1,-1,…有什么共同点?2.如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比值都是同一个常数,那么称这样的数列为等比数列,称这个常数为等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0).即 =q(n∈N+).
3.常数列一定是等比数列吗?提示:不一定,当常数列的各项均为零时,该常数列不是等比数列;当常数列各项均不为零时,该常数列是等比数列.
4.给出下列数列:①2,2,4,8,16,32,…;③常数列c,c,c,c,….其中一定是等比数列的个数为 .
答案:0
二、等比数列的通项公式【问题思考】1.如果等比数列{an}的首项为a1,公比为q,那么an与a1,q有什么关系?提示:an=a1qn-1.2.若首项是a1,公比是q,则等比数列{an}的通项公式为an= a1qn-1 (a1≠0,q≠0).
3.当等比数列{an}的公比q>0时,{an}的增减性如何? a1a1>0a1<0q的范围0<q<1q=1q>10<q<1q=1q>1数列{an}的增减性递减常数递增递增常数递减提示:如表1-3-1所示.表1-3-1
4.在等比数列{an}中,若a3=2,a4=4,则an= . 答案:2n-2
【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)常数列一定是等比数列.( × )(2)存在一个数列,它既是等差数列,又是等比数列.( √ )(3)等比数列中的项可以为零.( × )(4)在等比数列{an}中,若公比q>1,则{an}是递增数列.( × )
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探究一等比数列的判断(证明)【例1】 (1)下列数列是等比数列的是( ).A.2,2,-2,-2,2,2,-2,-2,…B.-2,2,-2,2,-2,…C.0,2,4,6,8,10,…D.a,a2,a3,a4,…(2)已知数列{an}的前n项和Sn=2-an,求证:数列{an}是等比数列.分析 (1)利用等比数列的定义判定.(2)先利用Sn与an的关系探求an,再利用等比数列的定义判定.
(1)解析:A.从第2项起,每一项与前一项的比不是同一个常数,故该数列不是等比数列.B.由等比数列定义知该数列为等比数列.C.等比数列各项均不为0,故该数列不是等比数列.D.当a=0时,该数列不是等比数列;当a≠0时,该数列为等比数列.答案:B
(2)证明:∵Sn=2-an,∴Sn+1=2-an+1.∴an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1,
判定一个数列{an}是等比数列的方法:
【变式训练1】 已知数列{an}是首项为2,公差为-1的等差数列,令bn= ,求证:数列{bn}是等比数列,并求其通项公式.证明:由已知得,an=2+(n-1)×(-1
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第一册 等比数列的概念及其通项公式 (课件)
