§6 用导数研究函数的性质6.1 函数的单调性第二章
【课程标准】【课时目标】1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.1.借助教材实例了解函数的单调性与导数的关系.(数学抽象)2.能利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间.(数学运算)3.能利用导数研究与函数单调性相关的问题.(数学运算、逻辑推理)
基础认知·自主学习【导学素材】已知函数y1=x,y2=x2,y3=的图象如图所示.【问题1】试结合图象指出以上三个函数的单调性.【问题2】判断它们的导数在其单调区间上的正、负.【问题3】结合问题1、问题2,探讨函数的单调性与其导函数正负有什么关系.
函数f(x)的单调性与导函数f'(x)正负之间的关系f'(x)的正负f(x)的单调性x∈(a,b),f'(x)>0f(x)在(a,b)上_________x∈(a,b),f'(x)<0f(x)在(a,b)上_________单调递增单调递减
【解透教材】对导数与单调性的关系的理解在某个区间内f'(x)>0(f'(x)<0)是函数f(x)在此区间内为单调递增(减)函数的充分不必要条件.如果出现个别点使f'(x)=0,不会影响函数f(x)在包含这些特殊点的某个区间内的单调性.例如函数f(x)=x3在定义域(-∞,+∞)上是单调递增函数,但由f'(x)=3x2知f'(0)=0,即并不是在单调区间内的任意一点处都满足f'(x)>0.
【思考与交流】(1)如果在某个区间内恒有f'(x)=0,那么函数f(x)有什么特性?提示:f(x)是常数函数.(2)函数y=f(x)的导数为f '(x),若函数y=f(x)是增加的,那么曲线y=f(x)上每一点处的切线的斜率的符号如何?提示:根据导数的几何意义,若函数y=f(x)是增加的,则f '(x)>0,即曲线y=f(x)上每一点处的切线的斜率大于零.
【基础小测】1.如图所示是函数f(x)的导函数f'(x)的图象,则下列判断中正确的是 ( )A.函数f(x)在区间(-3,0)上是减函数B.函数f(x)在区间(-3,2)上是减函数C.函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D.函数f(x)在区间(-3,2)上是单调函数【解析】选A.由函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象知A:x∈(-3,0)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,故A正确;B:x∈(-3,2)时,f'(x)<0或f'(x)>0,所以函数f(x)先单调递减,再单调递增,故B错误;C:x∈(0,2)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,故C错误;D:x∈(-3,2)时,f'(x)<0或f'(x)>0,所以函数f(x)先单调递减,再单调递增,不是单调函数,故D错误.
2.函数f(x)=cos x-x在(0,π)上的单调性是 ( )A.先增后减 B.先减后增C.单调递增 D.单调递减【解析】选D.f'(x)=-sin x-1,x∈(0,π),所以f'(x)<0,则f(x)=cos x-x在(0,π)上单调递减.
3.函数y=x3-x2-x-1的单调递增区间为 ( )A.B.C.,D.,【解析】选D.由题得y'=3x2-2x-1,令y'>0得x>1或x<-,故单调递增区间为(-∞,-),(1,+∞).
4.已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0),若f(x)的单调递减区间是(0,4),则实数k的值为________. 【解析】由f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0),得f'(x)=3kx2+6(k-1)x,因为f(x)的单调递减区间是(0,4),所以f'(x)<0的解集为(0,4),所以x=0,4是方程3kx2+6(k-1)x=0的两个根,所以12k+6(k-1)=0,解得k=.答案:
能力形成·合作探究类型一 导数与函数图象的关系(数学抽象)1.函数y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f'(x)的图象可能是 ( )【解析】选D.因为函数f(x)在(0,+∞),(-∞,0)上都是减函数,所以当x>0时,f'(x)<0,当x<0时,f'(x)<0.
2.f'是f的导函数,f'的图象如图所示,则f的图象只可能是 ( )【解析】选A.由f'的图象可知f'=0,f'=0,f在区间上的增长速度先快后慢,A选项符合.
3.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式xf'(x)>0的解集为____________. 【解析】由y=f(x)的图象可知f(x)在(-∞,)和(2,+∞)上单调递增,在上单调递减,所以f'(x)>0的解集为∪(2,+∞),f'(x)<0的解集为,由xf'(x)>0得或,所以xf'(x)>0的解集为∪.答案:∪
4.函数f(x)的定义域为[0,4],函数f(x)与f'(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间为________. 【解析】若f'(x)的图象为虚线,则f(x)的图象为实线,由f'(x)>0,得x>3,则f(x)在(3,4]上单调递增,与f(x)的实线图象不符,故不成立;若f'(x)的图象为实线,则f(x)的图象为虚线,由f'(x)>0,得x>2,所以f(x)在(2,4]上单调递增,与f(x)的虚线图象相符,故成立,综上,f(x)在(2,4]上单调递增.答案:(2,4]
【解题策略】通过图象研究函数的单调性的方法①观察原函数的图象,重在找出“上升”“下降”产生变化的点,分析函数值的变化趋势;②观察导函数的图象,重在找出导函数图象与x轴的交点,分析导数的正负.
【补偿训练】1.已知y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能的是 ( )
【解析】选C.本题考查根据导函数与原函数的关系判断图象增减的大致趋势.由f'(x)>0(f'(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势.由已知可得x的范围和f'(x)的正、负,f(x)的增减变化情况如表所示:x(-∞,0)(0,2)(2,+∞)f'(x)+-+f(x)↗↘↗由表可知f(x)在(-∞,0)上是增函数,在(0,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,故满足条件的只有C.
2.设函数f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为 ( )【解析】选C.因为f
2023-2024学年北师大版选择性必修第二册 第二章 §6 6.1 函数的单调性 (课件)
