北京市2022-2023学年高一上学期期末数学试题汇编-04对数的运算性质

北京市 2022-2023 学年上学期高一期末数学试题汇编 04 对数的运算性质 一、单选题 1 ．（ 2023 秋 · 北京 · 高一校考期末）化简 的结果为（      ） A ． B ． C ． D ． 2 ．（ 2023 秋 · 北京西城 · 高一统考期末）设 ，则 （      ） A ． 8 B ． 11 C ． 12 D ． 18 3 ．（ 2023 秋 · 北京东城 · 高一统考期末）记地球与太阳的平均距离为 R ，地球公转周期为 T ，万有引力常量为 G ，根据万有引力定律和牛顿运动定律知：太阳的质量 . 已知 ，由上面的数据可以计算出太阳的质量约为（      ） A ． B ． C ． D ． 4 ．（ 2023 秋 · 北京东城 · 高一统考期末）已知函数 ，对 a ， b 满足 且 ，则下 面结论一定正确的是（      ） A ． B ． C ． D ． 5 ．（ 2023 秋 · 北京怀柔 · 高一统考期末）溶液酸碱度是通过 计量的． 的计算公式为 ，其中 表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔 / 升．已知某品牌苏打水中氢离子的浓度为 摩尔 / 升，计算这种苏打水的 值．（精确到 0.001 ）（参考数据： ）（      ） A ． 8.699 B ． 8.301 C ． 7.699 D ． 6.602 6 ．（ 2023 秋 · 北京 · 高一清华 附中校考期末）计算： （      ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 6 7 ．（ 2023 秋 · 北京 · 高一校考期末）等额分付资本回收是指起初投资 P ， 在利率 i ，回收周期数 n 为定值的情况下，每期期末取出的资金 A 为多少时，才能在第 n 期期末把全部本利取出，即全部本利回收，其计算公式为： . 某农业种植公司投资 33 万元购买一大型农机设备，期望投资收益年利率为 10% ，若每年年底回笼资金 8.25 万元，则该公司将至少在（      ）年内能全部收回本利 和 . （ ， ， ） A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 7 8 ．（ 2023 秋 · 北京 · 高一校考期末）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（      ） A ． B ． C ． D ． 12 9 ．（ 2023 秋 · 北京石景山 · 高一统考期末）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述 . 两颗星的星等与亮度满足 ，其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek （ k =1,2 ） . 已知太阳的星等是 –26.7 ，天狼星的星等是 –1.45 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ． 10 10.1 B ． 10.1 C ． lg10.1 D ． 二、解答题 10 ．（ 2023 秋 · 北京 · 高一校考期末）化简计算 . (1) ； (2) . 11 ．（ 2023 秋 · 北京门头沟 · 高一校考期末）计算下列各式的值： (1) ； (2) . 三、双空题 12 ．（ 2023 秋 · 北京 · 高一北京师大附中校考期末） ， . 13 ．（ 2023 秋 · 北京大兴 · 高一统考期末）已知函数 ，则 ； ． 四、填空题 14 ．（ 2023 秋 · 北京东城 · 高一统考期末） . 15 ．（ 2023 秋 · 北京 · 高一校考期末）求 的值为 . 16 ．（ 2023 秋 · 北京西城 · 高一北京八中校考期末） ． 17 ．（ 2023 秋 · 北京朝阳 · 高一统考期末）设 且 ， ，则 的最小值为 . 参考答案： 1 ． A 【分析】通过对数换底公式的推论与指对恒等式即可化简得到 . 【详解】 ； 故选： A. 2 ． D 【分析】计算 ， ，代入计算即可 . 【详解】 ，则 ， ， 故选： D. 3 ． A 【分析】利用对数运算性质计算即可 . 【 详解】因为 ， 所以由 得： ， 即 ， 又 ， 所以 . 故选： A. 4 ． D 【分析】由对数函数的运算性质可知 移项化简即可得 . 【详解】因为函数 ，对 a ， b 满足 且 ， 所以 ， 则 所以 ， 即 ， 解得 故选： D 5 ． B 【分析】直接利用所给公式计算求解即可． 【详解】由题意得苏打水的 为 ． 故选： B 6 ． B 【分析】由对数的运算法则化简即可求得 . 【详解】由对数运算法则化简得 故选： B 7 ． C 【分析】根据题意，将对应的数据代入计算公式，化简整理后两边同时取对数，计算即可求解 . 【详解】由题意，知 万元， 万元， ， 由公式可得 ，整理得 ， 等式两边取对数，得 故选： C. 8 ． C 【分析】变换得到 ，再利用均值不等式计算得到答案 . 【详解】 ， ，因为 ， ，故 ， ， ， 当且仅当 时，即 时等号成立．所以 的最小值为 ． 故选： C 9 ． A 【解析】由题意得到关于 的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值 . 【详解】两颗星的星等与亮度满足 , 令 , . 故选 A. 【点睛】本题以天文学问题为背景 , 考查考生的数学应用意 识 ､ 信息处理能力 ､ 阅读理解能力以及指数对数运算 . 10 ． (1) (2)6 【分析】（ 1 ）直接利用指数幂计算公式得到答案 . （ 2 ）直接利用对数计算法则得到答案 . 【详解】（ 1 ） （ 2 ） 11 ． (1)13 (2) 【分析】（ 1 ）由指数幂的运算性质求解即可； （ 2 ）由对数的运算性质求解即可 【详解】（ 1 ） ； （ 2 ） 12 ． 【分析】根据指数幂的运算法则和对数的运算法则即得 . 【详解】 ， . 故答案为： 5 ； 3. 13 ． 【分析】直接根据分段函数解析式计算即可 . 【详解】因为 ， 所以 ， 所以 ． 故答案为： ； ． 14 ． 6 【分析】根据给定条件，利用指数运算、