知识梳理·读教材01题型突破·析典例02知能演练·扣课标03目录CONTENTS
01知识梳理·读教材
设f（x）＝x2，g（x）＝x，计算[f（x）·g（x）]'与f'（x）g'（x）.问题 （1）它们是否相等？（2）f（x）与g（x）商的导数是否等于它们导数的商呢？
知识点 导数的乘法与除法法则1.条件：函数f（x）和g（x）的导数分别是f'（x）和g'（x）.2.结论：（1）[f（x）g（x）]'＝ f'（x）g（x）＋f（x）g'（x） ；（2）'＝ ，g（x）≠0 . f'（x）g（x）＋f（x）g'（x） ，g（x）≠0
提醒 （1）函数的积的导数可推广到有限个函数的乘积的导数，即[u（x）·v（x）·…·w（x）]'＝u'（x）·v（x）·…·w（x）＋u（x）v'（x）·…·w（x）＋…＋u（x）·v（x）·…·w'（x）；（2）导数乘法、除法法则的特殊化公式：[kf（x）]'＝kf'（x），k∈R；'＝－（其中c为常数）.
1.函数y＝x2sin x的导数为（ ）A.y'＝2x＋cos xB.y'＝x2cos xC.y'＝2xcos xD.y'＝2xsin x＋x2cos x解析：y'＝（x2sin x）'＝（x2）'·sin x＋x2·（sin x）'＝2xsin x＋x2cos x.2.设f（x）＝，则f'（0）＝ . 解析：f'（x）＝＝，故f'（0）＝1. 答案：1
02题型突破·析典例
题型一 利用导数的乘法与除法法则求导【例1】 求下列函数的导数：（1）y＝； 解 （1）把函数的解析式整理变形可得：y＝＝＝1－，∴y'＝－＝.
（2）y＝3xex－2x＋e；解 （2）根据求导法则进行求导可得：y'＝（3xex）'－（2x）'＋e'＝（3x）'ex＋3x（ex）'－（2x）'＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2＝（3e）xln 3e－2xln 2.（3）y＝. 解 （3）利用求导的除法法则可得：y'＝＝＝.
通性通法求函数的导数的策略（1）先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数；（2）对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算.
求下列函数的导数：（1）y＝cos x·ln x；解：（1）y'＝（cos x·ln x）'＝（cos x）'·ln x＋cos x·（ln x）'＝－sin x·ln x＋. （2）y＝. 解：（2）y'＝'＝＝＝.
题型二 求导法则的应用角度一：利用导数求值【例2】 （1）设函数f（x）＝.若f'（1）＝，则a＝ ； 解析 （1）由于f'（x）＝，故f'（1）＝＝，解得a＝1. 答案 （1）1
（2）已知函数f（x）＝exln x，f'（x）为f（x）的导函数，则f'（1）＝ . 解析 （2）由题意得f'（x）＝exln x＋ex·＝ex，则f'（1）＝e. 答案 （2）e
通性通法利用导数求值的关键（1）对函数f（x）正确求导f'（x），若f（x）是由多个基本初等函数通过加、减、乘、除运算而得到的初等函数，要分析其结构形式，运用求导法则求解；（2）求得f'（x）后，再根据其他条件列方程（组）求解或代入求值.
角度二：与导数的几何意义有关的问题【例3】 已知函数f（x）＝，且f（x）的图象在x＝1处与直线y＝2相切. （1）求函数f（x）的解析式；解 （1）f'（x）＝＝＝，因为f（x）的图象在x＝1处与直线y＝2相切，所以解得则f（x）＝.
（2）若P（x0，y0）为f（x）图象上的任意一点，直线l与f（x）的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围.解 （2）由（1）可得，f'（x）＝，所以直线l的斜率k＝f'（x0）＝＝＝－4·＋.设t＝，则t∈（0，1]，所以k＝4（2t2－t）＝8（t－）2－， 则在对称轴t＝处取到最小值－，在t＝1处取到最大值4，所以直线l的斜率k的取值范围是［－，4］.
通性通法解决与导数几何意义有关问题的一般思路（1）利用导数的四则运算法则对函数f（x）正确求导，得f'（x）；（2）正确运用导数的几何意义，即函数在点（x0，f（x0））处的导数值f'（x0）等于f（x）在点（x0，f（x0））处切线的斜率.
曲线y＝在点（1，－1）处的切线方程为（ ） A.y＝x－2B.y＝－3x＋2C.y＝2x－3D.y＝－2x＋1解析：由题意知，点（1，－1）在曲线y＝上，又y'＝＝，所以曲线在点（1，－1）处的切线的斜率k＝＝－2，故所求切线的方程为y＋1＝－2（x－1），即y＝－2x＋1.
1.已知函数f（x）＝xsin x＋ax，且f'＝1，则a＝（ ） A.0B.1C.2D.4解析：因为f'（x）＝sin x＋xcos x＋a，且f'＝1，所以sin ＋cos ＋a＝1，即a＝0.
2.已知f（x）＝xex，则f'
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第二册导数的乘法与除法法则课件
