2023-2024学年北师大版高中数学必修第二册 第五章复数 复习与总结 （课件）

章末复习与总结 一、数学抽象数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.在本章中，主要体现在复数的基本概念中. 培优一　复数的概念【例1】　（1）设i是虚数单位，若复数a＋（a∈R）是纯虚数，则a＝（　　） A.4B.3C.2D.1解析　（1）∵a＋＝a＋＝a＋＝a－2－4i是纯虚数，∴a－2＝0，即a＝2.故选C.  （2）i是虚数单位，复数z＝a＋i（a∈R）满足z2＋z＝1－3i，则｜z｜＝（　　）A.或B.2或5C.D.5B.2或5D.5解析　（2）∵z2＋z＝（a＋i）2＋a＋i＝a2－1＋a＋（2a＋1）i＝1－3i，∴解得a＝－2.∴z＝－2＋i，故｜z｜＝＝.故选C.  （3）若复数z＝1＋i（i为虚数单位），是z的共轭复数，则z2＋的虚部为（　　） A.0B.－1C.1D.－2解析　（3）∵z＝1＋i，∴＝1－i，∴z2＋＝（1＋i）2＋（1－i）2＝2i＋（－2i）＝0.故选A.  二、数学运算数学运算在本章中主要体现在复数代数形式的四则运算、复数范围内解方程及三角形式的乘、除运算中.通过复数的四则运算进一步培养学生的数学运算核心素养.培优二　复数的四则运算【例2】　（1）（2022·新高考Ⅰ卷）若i（1－z）＝1，则z＋＝（　　） A.－2B.－1C.1D.2解析　（1）因为i（1－z）＝1，所以z＝1－＝1＋i，所以＝1－i，所以z＋＝（1＋i）＋（1－i）＝2.故选D.  （2）（2022·新高考Ⅱ卷）（2＋2i）（1－2i）＝（　　）A.－2＋4iB.－2－4iC.6＋2iD.6－2i解析（2）（2＋2i）（1－2i）＝2－4i＋2i＋4＝6－2i，故选D. （3）（2022·全国乙卷）已知z＝1－2i，且z＋a＋b＝0，其中a，b为实数，则（　　） A.a＝1，b＝－2B.a＝－1，b＝2C.a＝1，b＝2D.a＝－1，b＝－2解析（3）由题意知＝1＋2i，所以z＋a＋b＝1－2i＋a（1＋2i）＋b＝a＋b＋1＋（2a－2）i，又z＋a＋b＝0，所以a＋b＋1＋（2a－2）i＝0，所以解得故选A.  培优三　复数范围内解方程【例3】　已知关于x的方程x2－（tan θ＋i）x－（2＋i）＝0.（1）若方程有实数根，求锐角θ和实数根；解　（1）原方程可化为x2－xtan θ－2－（x＋1）i＝0，设方程的实数根为x0，则即又θ是锐角，故θ＝.  （2）证明：对任意θ≠kπ＋（k∈Z），方程无纯虚数根. 解　（2）证明：假设方程有纯虚数根，可设为bi，b≠0，b∈R，则－b2－（tan θ＋i）bi－（2＋i）＝0，即－b2－ibtan θ＋b－2－i＝0，可得－b2＋b－2＝0，解得b＝，与假设矛盾，所以方程无纯虚数根.  培优四　复数三角形式的乘、除运算【例4】　计算：（1）2×3（cos ＋isin ）