核心知识归纳
1．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f (x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f (x)的切线方程”的异同点．2．围绕着切点有三个等量关系：切点(x0，y0)，则k＝f ′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．
3．利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用f(x)与其导数f′(x)之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解．求解参数范围的步骤为：(1)对含参数的函数f(x)求导，得到f ′(x)；(2)若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f ′(x)≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；(3)验证参数范围中取等号时，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，则函数f(x)在(a，b)上为常函数，舍去此参数值．
4．求连续函数f (x)在区间[a，b]上的最值的方法(1)若函数f (x)在区间[a，b]上单调递增或递减，则f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值；(2)若函数f (x)在闭区间[a，b]内有极值，则要先求出[a，b]上的极值，再与f (a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
5．已知函数的极值(最值)情况求参数的值(取值范围)的方法根据极值和最值的关系，与最值有关的问题一般可以转化为极值问题．已知f (x)在某点x0处有极值，求参数的值(取值范围)时，应逆向考虑，可先将参数当作常数，按照求极值的一般方法求解，再依据极值与导数的关系，列等式(不等式)求解．
6．解决优化问题的步骤(1)要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域．(2)要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．(3)验证数学问题的解是否满足实际意义．
要点专项突破
要点一导数的几何意义及其应用典例 1y＝3x－2
典例 2要点二利用导数研究函数的单调性、极值与最值
典例 3C
(2023·山东威海高三检测)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1，y＝f(x)在x＝－2时有极值．(1)求f(x)的解析式；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的单调区间和最大值．[解析] (1)f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，f ′(1)＝3＋2a＋b，过曲线上P点的切线方程为y－f(1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，整理得，y＝(3＋2a＋b)x－a＋c－2.已知该切线方程为y＝3x＋1，典例 4
要点三利用导数求参数的取值范围典例 5
设函数f(x)＝x2＋aln(1＋x)有两个极值点x1，x2，且x1<x2.(1)求a的取值范围，并讨论f(x)的单调性；要点四利用导数证明不等式典例 6
某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，则银行获得最大收益的存款利率为( )A．3.2% B．2.4%C．4% D．3.6%要点五利用导数解决实际问题典例 7A
[解析] 依题意知，存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，银行应获得的利息是0.048kx2，所以银行的收益y＝0.048kx2－kx3，所以y′＝0.096kx－3kx2.令y′＝0，得x＝0.032或x＝0 (舍去)．因为k>0，所以当0<x<0.032时， y′>0，当0.032<x<0.048时， y′<0.因此，当x＝0.032时， y取得极大值，也是最大值，即当存款利率定为3.2%时，银行可获得最大收益. 故选A.
如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边△ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________.典例 8
[解析] 如图，连接DO交BC于点G，设D，E，F重合于S点，正三角形的边长为x(x>0)，
即时巩固C
C
3．已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝ax2－x.若经过点A(1,0)存在一条直线l与曲线y＝f(x)和y＝g(x)都相切，则a＝( )A．－1 B．1C．2 D．3B
4．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是___________________.2x＋y＋1＝0
5．已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x2－2x－3)f′(x)<0的解集为_____________________.{x|1<x<3}
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第二册导数及其应用章末整合提升课件
