知识梳理·读教材01题型突破·析典例02知能演练·扣课标03目录CONTENTS
01知识梳理·读教材
研究股票时,我们最关心的是股票的发展趋势(走高或走低)以及股票价格的变化范围(封顶或保底).从股票走势曲线图来看,股票有升有降.在数学上,函数曲线也有升有降,就是我们常说的单调性.
知识点一 导数的符号与函数的单调性之间的关系导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系:(1)若在某个区间上,函数y=f(x)的导数f'(x)>0,则在这个区间上,函数y=f(x) 单调递增 ;(2)若在某个区间上,函数y=f(x)的导数f'(x)<0,则在这个区间上,函数y=f(x) 单调递减 .单调递增 单调递减 提醒 若在某个区间上,f'(x)≥0,且只在有限个点为0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递增;若在某个区间上,f'(x)≤0,且只在有限个点为0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递减.
在区间(a,b)内,若f'(x)>0,则f(x)在此区间上单调递增,反之若f(x)在(a,b)上单调递增,则f'(x)>0成立吗?提示:不一定成立.比如y=x3在R上为增函数,但其在x=0处的导数等于零.也就是说f'(x)>0是可导函数y=f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件.
知识点二 函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地,设函数y=f(x)在区间(a,b)上:导数的绝对值函数值变化函数的图象较大 较快 比较“ 陡峭 ”(向上或向下)较小 较慢 比较“ 平缓 ”(向上或向下)较快 陡峭 较慢 平缓 提醒 (1)原函数的图象通常只看增减变化,而导函数的图象通常对应只看正负变化;(2)导数的绝对值大(小)对应着原函数图象的陡峭(平缓).弄清楚两个对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数的绝对值大小的关系.
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)函数f(x)在定义域上都有f'(x)<0,则函数f(x)在定义域上是减函数.( )答案:(1)× (2)函数f(x)在某区间内单调递增,则一定有f'(x)>0.( )答案:(2)× (3)函数在某个区间上变化越快,函数在这个区间上的导数的绝对值越大.( )答案:(3)√ (4)函数y=x3+x的单调递增区间为(-∞,+∞).( )答案:(4)√
2.若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,则函数f'(x)的图象是( )解析:f'(x)=2x+b,由于函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限,所以x=->0,得b<0.结合选项,可知选A.
3.函数f(x)=ln x-x的单调递增区间是 . 解析:f'(x)=-1,令f'(x)>0,又x>0,∴0<x<1,则f(x)的单调递增区间是(0,1). 答案:(0,1)
02题型突破·析典例
题型一 函数图象与导函数图象的关系【例1】 (1)设函数f(x)在定义域内可导,f(x)的图象如图所示,则导函数f'(x)的图象可能为( )
解析 (1)由f(x)的图象可知,y=f(x)在(-∞,0)上单调递增,因此在x<0时,有f'(x)>0(即f'(x)在(-∞,0)上的图象全部在x轴上方),故排除A、C.从函数f(x)的图象上可以看出,函数f(x)在区间(0,x1)上单调递增,f'(x)>0,在区间(x1,x2) 上单调递减,f'(x)<0,在区间(x2,+∞)上单调递增,f'(x)>0,故排除B,选D.
(2)已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f'(x)的图象如图所示,则该函数的图象是( )
解析 (2)法一 由函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象自左到右先上升后下降,可知函数y=f(x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小,可以判断B正确.法二 由于f'(x)>0恒成立,则根据导数符号和函数单调性的关系可知,f(x)单调递增,即图象从左至右上升.四个图象都满足.由于当x>1时,f'(x)>0且越来越小,则函数值增加得越来越慢,图象越来越“平缓”,且呈现上凸状;当x<1时,f'(x)>0且越来越大,故函数值增加得越来越快,图象越来越“陡峭”,且呈现下凹状,可以判断B正确.
通性通法 导函数f'(x)图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象上升部分对应的区间(单调递增区间),导函数f'(x)图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数f(x)图象下降部分对应的区间(单调递减区间).
在同一坐标系中作出三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)及其导函数的图象,下列一定不正确的序号是( )A.①②B.①③C.③④D.①④
解析:当f'(x)>0时,y=f(x)单调递增;当f'(x)<0时,y=f(x)单调递减.故可得,①②中函数图象的增减趋
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第二册 函数的单调性 课件