01题型突破·析典例
题型一 含参数的函数的单调性【例1】 讨论函数f（x）＝ax2＋x－（a＋1）ln x（a≥0）的单调性. 解 函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ax＋1－＝. ①当a＝0时，f'（x）＝， 由f'（x）＞0，得x＞1，由f'（x）＜0，得0＜x＜1.∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.
②当a＞0时，f'（x）＝， ∵a＞0，∴＞0. 由f'（x）＞0，得x＞1，由f'（x）＜0，得0＜x＜1.∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.
通性通法1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.2.划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.
求函数f（x）＝＋aln x（a∈R）的单调递减区间. 解：易得函数f（x）的定义域是（0，＋∞），f'（x）＝－＋＝. ①当a≤0时，f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，故f（x）在（0，＋∞）上单调递减.
②当a＞0时，若0＜x＜，则f'（x）＜0；若x＞，则f'（x）＞0，所以f（x）在上单调递减，在上单调递增.综上可知，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，＋∞），当a＞0时，f（x）的单调递减区间为.
题型二 已知函数的单调性求参数的范围【例2】 若函数f（x）＝x3－ax2＋（a－1）x＋1在区间[1，4]上单调递减，在区间[6，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A.（－∞，5]B.[5，7]C.[7，＋∞）D.（－∞，5]∪[7，＋∞）
解析 法一 f'（x）＝x2－ax＋a－1，由f'（x）＝0得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，对于任意的x∈[1，＋∞），f'（x）≥0，即函数f（x）在[1，＋∞）上单调递增，不符合题意；当a－1＞1，即a＞2时，函数f（x）在（－∞，1]和[a－1，＋∞）上单调递增，在[1，a－1]上单调递减，依题意[1，4]⊆[1，a－1]且[6，＋∞）⊆[a－1，＋∞），从而4≤a－1≤6，故5≤a≤7.综上，实数a的取值范围为[5，7].法二 f'（x）＝x2－ax＋a－1，依题意，得f'（x）≤0在[1，4]上恒成立，且f'（x）≥0在[6，＋∞）上恒成立，由f'（x）＝0得x＝1或x＝a－1，故4≤a－1≤6，即5≤a≤7.故所求实数a的取值范围为[5，7].
通性通法1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f'（x）≥0（或f'（x）≤0），x∈（a，b）恒成立，利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意参数的取值是f'（x）不恒等于0的参数的范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意.2.若函数y＝f（x）在区间（a，b）上不单调，则转化为f'（x）＝0在（a，b）上有解（需验证解的两侧导数是否异号）.
若函数f（x）＝x3－12x在区间（k－1，k＋1）上不单调，则实数k的取值范围是（ ）A.（－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞）B.（－3，－1）∪（1，3）C.（－2，2）D.不存在这样的实数k
解析：由题意得，f'（x）＝3x2－12＝0在区间（k－1，k＋1）上至少有一个实数根.又f'（x）＝3x2－12＝0的根为±2，且f'（x）在x＝2或－2两侧导数异号，而区间（k－1，k＋1）的区间长度为2，故只有2或－2在区间（k－1，k＋1）内，∴k－1＜2＜k＋1或k－1＜－2＜k＋1，∴1＜k＜3或－3＜k＜－1，故选B.
题型三 函数单调性的应用【例3】 （1）已知函数f（x）＝＋ln x，则（ ） A.f（e）＜f（π）＜f（2.7）B.f（π）＜f（e）＜f（2.7）C.f（e）＜f（2.7）＜f（π）D.f（2.7）＜f（e）＜f（π）解析 （1）函数f（x）＝＋ln x的定义域为（0，＋∞）.∵f'（x）＝（＋ln x）'＝（）'＋（ln x）'＝＋＞0，∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数.∵2.7＜e＜π，∴f（2.7）＜f（e）＜f（π），故选D.
（2）已知函数f（x）＝4x＋3sin x，x∈（－1，1），若f（1－a）＋f（1－a2）＜0成立，则实数a的取值范围为（ ）A.（0，1）B.（1，）C.（－2，－）D.（－∞，－2）∪（1，＋∞）A.（0，1）D.（－∞，－2）∪（1，＋∞）解析 （2）∵f（x）＝4x＋3sin x，x∈（－1，1），∴f'（x）＝4＋3cos x＞0在x∈（－1，1）上恒成立，∴f（x）在（－1，1）上单调递增.又f（x）＝4x＋3sin x，x∈（－1，1）是奇函数，∴不等式f（1－a）＋f（1－a2）＜0可化为f（1－a）＜f（a2－1）.结合函数f（x）的定义域可知，a要满足解得1＜a＜.
通性通法1.在比较两数（式）的大小关系时，首先要判断所给函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小，有时还需要根据待比较式的结构特征构造新的函数，由新函数的单调性来比较大小.2.对于利用导数解不等式问题，需要利用导数判断出函数的单调性，再利用单调性解不等式.注意函数定义域.
若f（x）＝，e＜a＜b，则（ ） A.f（a）＜f（b）B.f（a）＝f（b）C.f（a）＞f（b）D.f（a）f（b）＞1解析：易知f（x）的定义域为（0，＋∞），令f'（x）＝
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第二册函数单调性的应用课件
