2023-2024学年北师大版选择性必修第二册 习题课8 导数的综合应用 (课件)

1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）函数<m></m>是由函数<m></m>和<m></m>复合而成的．() √（2）若<m></m>，则<m></m>．() ×（3）若<m></m>，则<m></m>．() × 2.若函数<m></m>的导数在区间<m></m>上有零点，则<m></m>在下列区间上单调递增的是(). A.<m></m>B.<m></m>C.<m></m>D.<m></m> [解析]由题意知，<m></m>，∵函数<m></m>的导数在区间<m></m>上有零点，∴当<m></m>时，<m></m>，又<m></m>，<m></m>.令<m></m>，解得<m></m>或<m></m>，即<m></m>的单调递增区间为<m></m>和<m></m>，<m></m>，<m></m>符合题意，故选D. D 3.若函数<m></m>在<m></m>上是单调函数，则实数<m></m>的取值范围是(). A.<m></m>B.<m></m>C.<m></m>D.<m></m> [解析]<m></m>的定义域为<m></m>，<m></m>，<m></m>在<m></m>上是单调函数，<m></m>或<m></m>在<m></m>上恒成立，即<m></m>或<m></m>在<m></m>上恒成立，即<m></m>或<m></m>在<m></m>上恒成立.记<m></m>，<m></m>，则<m></m>，<m></m>或<m></m>，故选C. √ 4.已知函数<m></m>，且当<m></m>时，<m></m>恒成立，则实数<m></m>的取值范围是________. <m></m> [解析]因为<m></m>，所以<m></m>，又<m></m>，故当<m></m>或<m></m>时，<m></m>，且当<m></m>时，<m></m>，当<m></m>时，<m></m>，<m></m>，<m></m>，故<m></m>.因为<m></m>恒成立，所以<m></m>，即<m></m>成立.  5.已知函数<m></m>，当<m></m>时，讨论函数<m></m>的单调性. [解析]由题意得<m></m>，当<m></m>时，<m></m>，此时<m></m>在<m></m>上单调递增.当<m></m>时，方程<m></m>的根的判别式<m></m>.①当<m></m>时，<m></m>，<m></m>恒成立，所以<m></m>，此时<m></m>在<m></m>上单调递增；②当<m></m>时，令<m></m>，解得<m></m>，<m></m>.当<m></m>变化时，<m></m>，<m></m>的变化情况如下表： <m></m><m></m><m></m><m></m><m></m><m></m><m></m>+0-0+<m></m>↗极大值↘极小值↗+0-0+↗极大值↘极小值↗ 所以<m></m>在<m></m>和<m></m>上单调递增，在<m></m>上单调递减.综上所述，当<m></m>时，<m></m>在<m></m>上单调递增；当<m></m>时，<m></m>在<m></m>和<m></m>上单调递增，在<m></m>上单调递减.  探究1 利用导数求参数的取值范围例1若函数<m></m>在<m></m>上单调递减，求实数<m></m>的取值范围. [解析]（法一）<m></m>，当<m></m>时，<m></m>，故<m></m>在<m></m>上单调递增，与<m></m>在<m></m>上单调递减不符，舍去；当<m></m>时，由<m></m>，得<m></m>，即<m></m>的单调递减区间为<m></m>，与<m></m>在<m></m>上单调递减不符，舍去；当<m></m>时，由<m></m>，得<m></m>，即<m></m>的单调递减区间为<m></m>，又由<m></m>在<m></m>上单调递减，得<m></m>，即<m></m>综上可知，实数<m></m>的取值范围是<m></m>.（法二）由题意可知<m></m>，因为原函数在区间<m></m>上单调递减，所以<m></m>在区间<m></m>上恒成立，即<m></m>在区间<m></m>上恒成立，从而解得<m></m>.  方法总结 由函数的单调性求参数取值范围的方法（1）可导函数在区间<m></m>上单调，实际上就是在该区间上<m></m>（或<m></m>）恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围； （2）可导函数在区间<m></m>上存在单调区间，实际上就是<m></m>（或<m></m>）在该区间上存在解集，即<m></m>（或<m></m>）在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围； （3）若已知<m></m>在区间<m></m>上的单调性，区间<m></m>上含有参数时，可先求出<m></m>的单调区间，令<m></m>是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围.  针对训练1已知函数<m></m>，<m></m>为实数. （1）当<m></m>时，求函数<m></m>的单调区间； （2）当<m></m>时，<m></m>在<m></m>上恒成立，求实数<m></m>的取值范围. [解析]（1）当<m></m>时，<m></m>，<m></m>，<m></m>.由<m></m>可得<m></m>，由<m></m>可得<m></m>，∴函数<m></m>的单调递减区间为<m></m>，单调递增区间为<m></m>.（2）当<m></m>时，<m></m>，<m></m>，  当<m></m>时，<m></m>恒成立，等价于<m></m>在<m></m>上恒成立.令<m></m>，则<m></m>.令<m></m>，则<m></m>.当<m></m>时，<m></m>，函数<m></m>在<m></m>上单调递增，故<m></m>，从而当<m></m>时，<m></m>，即函数<m></m>在<m></m>上单调递增，故<m></m>，因此当<m></m>时，若使<m></m>恒成立，必须<m></m>.∴实数<m></m>的取值范围是<m></m>.  探究2 利用导数研究不等式例2已知函数<m></m>（<m></m>为自然对数的底数，<m></m>为常数）的图象在点<m></m>处的切线斜率为<m></m>.（1）求<m></m>的值及函数<m></m>的极值.（2）求证：当<m></m>时，<m></m>.  [解析]（1）由<m></m>，得<m></m>.因为<m></m>，所以<m></m>，所以<m></m>，则<m></m>，令<m></m>，得<m></m>，当<m></m>时，<m></m>，<m></m>单调递减；当<m></m>时，<m></m>，<m></m>单调递增.所以当<m></m>时，<m></m>取得极小值，