初高中知识衔接
[衔接概述]由于现行的初、高中数学教材在内容上衔接不是很严密,致使以下内容造成初、高中数学“脱节”.1.立方和与差的公式初中已删去不讲,而高中的运算还在用.2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解,对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式分解几乎不作要求,但高中教材许多化简求值都要用到.如解方程、不等式等.3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求,而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧.
4.初中教材对二次函数要求较低,学生处于了解水平,但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容.配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值,研究闭区间上函数最值等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法.5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系,根与系数的关系(韦达定理)在初中不作要求,此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型,而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容,高中教材却未安排专门的讲授.
[知识衔接] 一、数与式的运算1.乘法公式(1)平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b);(2)完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2;(3)立方和公式:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);(4)立方差公式:a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);(5)三数和平方公式:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;(6)两数和立方公式:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;(7)两数差立方公式:(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.
2.绝对值及其几何意义(2)绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. (3)两个数的差的绝对值的几何意义:|a-b|表示在数轴上,数a和数b之间的距离.
3.根式及其运算
4.正整数指数幂的运算性质(1)am·an=am+n;(2)(am)n=amn;(4)(ab)n=anbn;
5.分子、分母有理化(1)把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.(3)分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式,化去分子中的根号的过程.
二、因式分解因式分解的主要方法有:提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法,本文仅列举常见的4种方法.1.提公因式法pa+pb+pc=p(a+b+c).2.公式法(1)平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b);(2)完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2;(3)立方和和立方差公式:a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2).
3.十字相乘法(1)x2+(p+q)x+pq型:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
4.求根法关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解.若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1,x2,则二次三项式ax2+bx+c(a≠0)就可分解为a(x-x1)(x-x2).三、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)1.一元二次方程根的个数的判断:设Δ=b2-4ac,则(1)当Δ≥0时,方程有实数根;①当Δ>0时,方程有两个不同的实数根;②当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;(2)当Δ<0时,方程无实数根.
四、二次函数及其性质1.定义:形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数.2.二次函数解析式的三种形式一般式:y=ax2+bx+c(a≠0).顶点式:y=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).(x1,x2是二次函数图象与x轴两交点的横坐标)
3.二次函数的图象和性质
4.二次函数的图象与相应一元二次方程的关系
5.二次三项式的配方法五、不等式的解法
3.分式不等式的解法
[衔接训练]1.下列多项式中,能用提公因式法因式分解的是( )(A)x2-y (B)x2-2x(C)x2+y2 (D)x2-xy+y2B解析:由于x2-2x=x(x-2),因此能用提公因式法因式分解的是B.
2.关于x的不等式x2-(2m+1)x+m2+m≤0的解集为( )(A)m<x<m+1 (B)0≤x≤1(C)m≤x≤m+1 (D)2m≤x≤m+1C解析:x2-(2m+1)x+m2+m≤0⇔(x-m)[x-(m+1)]≤0⇔m≤x≤m+1.故选C.3.满足关于x的一次不等式2(1-x)+3≥0的非负整数解的个数有( )(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)无数个解析:由于2(1-x)+3≥0,去括号得2-2x+3≥0,移项合并得-2x≥-5,系数化为1得x≤2.5.所以不等式的非负整数解有0,1,2,一共3个,故选B.B
4.若4x2+(k-1)x+9能用完全平方公式因式分解,则k的值为( )(A)±6 (B)±12 (C)-13或11 (D)13或-11D解析:因为4x2+(k-1)x+9能用完全平方公式因式分解,所以方程4x2+(k-1)x+9=0有两个相同的实数根,故(k-1)2-4×4×9=0,即k-1=±12,因此k=13或-11,故选D.
5.下列二次根式是最简二次根式的是( )A
6.若x,y为正整数,且2x·22y=29,则x,y的值有( )(A)1对 (B)2对 (C)3对 (D)4对D
B
A
D(A)m≤3 (B)m≠0(C)m≥3 (D)m≤3且m≠0
D
B
B
A
A14.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围为( )
15.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如表所示.x…-3-2-101…y…-60466…下列说法:①抛物线与y轴的交点为(0,6);②抛物线的对称轴在y轴的右侧;③抛物线一定经过点(3,0);④在对称轴左侧,y随x增大而减小;⑤不等式ax2+(b-3)x+c-6>0的解集为-2<x<0.其中正确的有( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个D
16.不等式x2-x-6>0的解集是 . 答案:x>3或x<-2
答案:x>2
(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)根据图象回答:当x取何值时,反比例函数的值大于
初高中知识衔接（课件）新高一上学期开学前必学数学知识点
