2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 余弦定理正弦定理习题课 （课件）

关键能力·合作探究释疑难01类型1　三角形解的个数的判断类型2　三角形的面积类型3　正、余弦定理的综合应用 类型1　三角形解的个数的判断【例1】　不解三角形，判断下列三角形解的个数．(1)a＝5，b＝4，A＝120°；[解]　sin B＝sin 120°＝×<，所以三角形有一解．  (2)a＝9，b＝10，A＝60°；[解]　sin B＝sin 60°＝×＝，而<<1，所以当B为锐角时，满足sin B＝的角B的取值范围是60°<B<90°，满足A＋B<180°；当B为钝角时，满足sin B＝的角B的取值范围是90°<B<120°，也满足A＋B<180°．故三角形有两解．  (3)b＝72，c＝50，C＝135°．[解]　sin B＝＝sin C >sin C＝．所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解．  反思领悟　已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法(1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：  A为钝角A为直角A为锐角a>b一解一解一解a＝b无解无解一解a<b无解无解a>bsin A两解a＝bsin A一解a<bsin A无解 [跟进训练]1．(多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是(　　)A．a＝8，b＝16，A＝30°，有一解B．b＝18，c＝20，B＝60°，有两解C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解√√√ ABD　[A中，∵＝，∴sin B＝＝1，∴B＝90°，即只有一解；B中，∵sin C＝＝，且c>b，∴C >B，故有两解；C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝＝＝，有解；D中，∵＝，∴sin B＝＝，又b<a，∴角B只有一解．]  类型2　三角形的面积【例2】　在△ABC中，BC＝5，AC＝4，cos ∠CAD＝且AD＝BD，求△ABC的面积．  [解]　设CD＝x，则AD＝BD＝5－x，在△CAD中，由余弦定理的推论可知：cos ∠CAD＝＝，解得x＝1．在△CAD中，由正弦定理可知：sin C＝·＝4＝，∴S△ABC＝AC·BC·sinC＝×4×5×＝．∴△ABC的面积为．  反思领悟　已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．  [跟进训练]2．(1)在△ABC中，若a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝______．  2　∵cos C＝，∴C∈(0°，90°)，∴sin C＝＝，又S△ABC＝ab sin C＝×3×b×＝4，∴b＝2． 2  (2)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为__________． 或　由正弦定理得sin C＝＝＝，∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°，∴S△ABC＝AB·AC·sin A＝或． 或   类型3　正、余弦定理的综合应用【例3