必备知识·情境导学探新知01
怎样规定两个复数的乘除运算，才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定内容？复数的加减运算把i看作一个字母，相当于多项式的合并同类项，那么复数乘法是否可以像多项式乘法那样进行呢？
知识点1 复数的乘法1．复数代数形式的乘法法则已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝__________________． (ac－bd)＋(ad＋bc)i
2．复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝z2z1结合律(z1z2)z3＝_________乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝__________z1(z2z3)z1z2＋z1z3
知识点2 复数的除法法则(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)．
思考 (1)复数的乘法与多项式的乘法有何不同？(2)|z|2＝z2，正确吗？[提示] (1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．(2)不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1．
(1)＝______；(2)＝______；(3)＝______． －ii －i
关键能力·合作探究释疑难02类型1 复数代数形式的乘法运算类型2 复数代数形式的除法运算类型3 在复数范围内解方程
类型1 复数代数形式的乘法运算【例1】 (源自湘教版教材)计算：(1)(1＋2i)(4－3i)；[解] (1＋2i)(4－3i)＝1×4＋1×(－3i)＋2i×4＋2i×(－3i)＝4－3i＋8i－6i2＝4－3i＋8i－6×(－1)＝10＋5i．
(2)(1＋i)2；[解] (1＋i)2＝12＋2·1·i＋i2＝1＋2i－1＝2i．(3)(1－i)2；[解] (1－i)2＝12－2·1·i＋i2＝1－2i－1＝－2i．
(4)(1＋i)1 000．[解] 由(2)得，(1＋i)1 000＝[(1＋i)2]500＝(2i)500＝2500·i500＝2500·1＝2500．
反思领悟 1．两个复数代数形式乘法的一般方法复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．2．常用公式(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)．(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．(3)(1±i)2＝±2i．
[跟进训练]1．(1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)B z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为对应的点在第二象限，所以 解得a<－1，故选B． √
(2)计算：①(2＋3i)(2－3i)＝______；②(－2－i)(3－2i)(－1＋3i) ＝________．①13 ②5－25i ①(2＋3i)(2－3i)＝22－(3i)2＝22－(－9)＝13．②原式＝(－6＋4i－3i＋2i2)(－1＋3i)＝(－8＋i)(－1＋3i)＝8－24
2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 复数的乘除运算 （课件）
