必备知识·情境导学探新知01
如图所示，若想知道河对岸的一点A与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小，你能借助这3个量，求出AB的长吗？
知识点 正弦定理
思考 在△ABC中，＝＝，那么这个比值有什么特殊的含义吗？ [提示] 如图所示，无论怎么移动B′，都会有角B′＝B，所以在△AB′C中，＝＝c，c是Rt△ABC，△AB′C外接圆的直径，所以对任意△ABC，均有＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝( )A． C． A [由＝，得＝，解得sin B＝．故选A．] √
2．已知△ABC外接圆半径是2，A＝60°，则BC的长为______．2 2 [因为＝2R，所以BC＝2Rsin A＝4sin 60°＝2．]
关键能力·合作探究释疑难02类型1 已知两角及一边解三角形类型2 已知两边和其中一边的对角解三角形类型3 三角形形状的判断
类型1 已知两角及一边解三角形【例1】 在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．[解] 因为B＝30°，C＝105°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°．由正弦定理，得＝＝，解得a＝＝4，c＝＝2()．
反思领悟 已知两角及一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边，可先由正弦定理求另一边，再由三角形的内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．(2)若所给边不是已知角的对边，则先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．
[跟进训练]1．已知△ABC中，c＝4，∠A＝45°，∠B＝60°，求a，b．[解] 由题意可得∠C＝180°－45°－60°＝75°．由正弦定理得a＝＝．又sin 75°＝，于是a＝＝4－4．同理可得b＝＝＝6－2．
类型2 已知两边和其中一边的对角解三角形【例2】 (源自湘教版教材)在△ABC中，分别求下列条件下的∠C和c．(1)a＝5，b＝5，∠A＝30°； [解] 由正弦定理得＝，即sin B＝，所以∠B＝60°或∠B＝120°．当∠B＝60°时，∠C＝90°，所以c＝sin 90°·＝10．当∠B＝120°时，∠C＝30°，所以c＝a＝5．
(2)a＝5，b＝，∠A＝45°． [解] 由正弦定理得sin B＝·＝，所以∠B＝30°或∠B＝150°．又∠A＝45°，a＞b，所以∠B＜45°．由此得到∠B＝30°，∠C＝105°．因此c＝sin 105°·＝sin 75°·＝．
反思领悟 已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤(1)用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角．(2)用三角形内角和定理求出第三个角．(3)根据正弦定理求出第三条边．其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值．
[跟进训练]2．已知B＝30°，b
2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 正弦定理 （课件）
