2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 立体几何初步微专题二面角的常见求法 （课件）

类型1　定义法求二面角01 方法：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角． 【例1】　如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2，VC＝1，求二面角V-AB-C的大小． [解]　如图，取AB中点O，连接VO，CO.∵在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝2，VC＝1，∴VO⊥AB，CO⊥AB，∴∠VOC是二面角V-AB-C的平面角．∵VO＝＝1，CO＝＝1，∴VO＝CO＝VC＝1，△VOC为等边三角形，∴∠VOC＝60°，∴二面角V-AB-C的大小为60°.  类型2　三垂线法求二面角02 方法：在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角． 【例2】　如图，在三棱锥S-ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC. (1)证明：平面SBC⊥平面SAB；[解]　∵∠SAB＝∠SAC＝90°，∴SA⊥AB，SA⊥AC.又AB∩AC＝A，AB、AC⊂平面ABC，∴SA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC.又AB⊥BC，SA∩AB＝A，SA、AB⊂平面SAB，∴BC⊥平面SAB.又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAB. (2)求二面角A-SC-B的平面角的正弦值．[解]　取SB的中点D，连接AD，则AD⊥SB，由(1)知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB＝SB，AD⊂平面SAB，∴AD⊥平面SBC.又SC⊂平面SBC，所以SC⊥AD.作AE⊥SC，垂足为点E，连接DE，因为AE∩AD＝A，AE、AD⊂平面ADE. 所以SC⊥平面ADE.又DE⊂平面ADE，则DE⊥SC，则∠AED为二面角A-SC-B的平面角．设SA＝AB＝2a，则SB＝BC＝2a，SC＝4a.由题意得AE＝a，在Rt△ADE中，sin ∠AED＝，∴二面角A-SC-B的平面角的正弦值为.  类型3　垂面法求二面角03 方法：过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，平面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角． 【例3】　如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小．[解]　∵SB＝BC且E是SC的中点，∴BE是等腰三角形SBC底边SC的中线，∴SC⊥BE.又SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE，∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA⊂平面SAC，∴BD⊥平面SAC. ∵平面SAC∩平面BDE＝DE，平面SAC∩平面BDC＝DC，∴BD⊥DE，BD⊥DC，∴∠EDC是所求二面角的平面角．∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC.设SA＝2，则AB＝2，BC＝SB＝2.∵AB⊥BC，∴AC＝2，∴∠ACS＝30°.又已知DE⊥SC，∴∠EDC＝60°.即所求的二面角等于60°.