1.3 向量的数乘
新课程标准解读核心素养1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义数学抽象2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义数学运算3.理解两个向量共线的含义逻辑推理
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01知识梳理·读教材
一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？你能用图形表示吗？问题 类比实数的运算“a＋a＋a＝3a”你能猜想向量的运算中a＋a＋a的结果吗？
知识点一 向量的实数倍向量的数乘：求向量的实数倍的运算称为向量的数乘.一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作 λa ，称为a的λ倍，它的长度｜λa｜＝ λ｜｜a｜ .（1）当λ≠0且a≠0时，λa的方向 λa ｜λ｜｜a｜ （2）当λ＝0或a＝0时，λa＝0a＝0或λa＝λ0＝0.提醒 （1）向量数乘的几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小；（2）向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算.
知识点二 共线向量1.定义：当非零向量a，b方向 相同 或 相反 时，我们既称a，b共线，也称a，b平行，并且用符号“∥”来表示它们共线（或平行），记作a∥b.2.共线向量定理两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的 实数 倍.即a∥b⇔存在实数λ，使得b＝ λa 或a＝ λb .相同 相反 实数 λa λb
3.向量a，b所成的角如图，设a，b是两个非零向量，任选一点O，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）称为向量a，b所成的角（也称夹角），记作 ＜a，b＞ . ＜a，b＞ 提醒 （1）向量a，b夹角的范围是[0，π]，①当θ＝0时，a，b方向相同；②当θ＝π时，a，b方向相反；③当0＜θ＜π时，a，b所在直线相交于点O；④当θ＝时，a与b垂直，记作a⊥b；（2）规定：零向量与任一向量平行（或垂直）.
知识点三 共线向量的运算1.单位向量把长度为 1 的向量称为单位向量.它的长度等于单位长度.对于任一非零向量a，都可得到与它方向相同的唯一单位向量e＝ a . 1 a
2.实数与共线向量间的关系一般地，在一条直线上任取单位向量e，则该直线上的任何一个向量a都可写成a＝ ae ，其中实数a的绝对值｜a｜代
2023-2024学年湘教版高中数学必修第二册 1.3 向量的数乘 （课件）
