01题型突破·析典例
题型一 移项作差构造函数证明不等式【例1】 已知函数f（x）＝1－，g（x）＝＋－bx，若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）的一个公共点是A（1，1），且在点A处的切线互相垂直. （1）求a，b的值；解 （1）因为f（x）＝1－，x＞0，所以f'（x）＝，f'（1）＝－1.
因为g（x）＝＋－bx，所以g'（x）＝－－－b.因为曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）的一个公共点是A（1，1），且在点A处的切线互相垂直，所以g（1）＝1，且f'（1）·g'（1）＝－1， 所以g（1）＝a＋1－b＝1，g'（1）＝－a－1－b＝1，解得a＝－1，b＝－1.
（2）证明：当x≥1时，f（x）＋g（x）≥. 解 （2）证明：由（1）知，g（x）＝－＋＋x，则f（x）＋g（x）≥⇔1－－－＋x≥0.令h（x）＝1－－－＋x（x≥1），则h（1）＝0，h'（x）＝＋＋＋1＝＋＋1.因为x≥1，所以h'（x）＝＋＋1＞0，所以h（x）在[1，＋∞）上单调递增， 所以当x≥1时，h（x）≥h（1）＝0，即1－－－＋x≥0，所以当x≥1时，f（x）＋g（x）≥.
通性通法 一般地，要证f（x）＞g（x）在区间（a，b）上成立，需构造辅助函数F（x）＝f（x）－g（x），通过分析F（x）在端点处的函数值来证明不等式.若F（a）＝0，只需证明F（x）在（a，b）上单调递增即可；若F（b）＝0，只需证明F（x）在（a，b）上单调递减即可.
已知函数f（x）＝ex－ax（e为自然对数的底数，a为常数）的图象在点（0，1）处的切线斜率为－1.（1）求a的值及函数f（x）的极值；解：（1）f'（x）＝ex－a，∴f'（0）＝1－a，又∵f（x）的图象在点（0，1）处的切线斜率为－1，即1－a＝－1，∴a＝2.∴f（x）＝ex－2x，f'（x）＝ex－2.令f'（x）＝0，解得x＝ln 2.当x＜ln 2时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞ln 2时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增.∴当x＝ln 2时，函数f（x）取得极小值，为f（ln 2）＝2－2ln 2，无极大值.
（2）求证：当x＞0时，x2＜ex.解：（2）证明：令g（x）＝ex－x2，则g'（x）＝ex－2x，由（1）得g'（x）＝f（x）≥f（ln 2）＞0，∴g（x）在R上是增函数，因此当x＞0时，g（x）＞g（0）＝1＞0，∴x2＜ex.
题型二 构造双函数证明不等式【例2】 已知函数f（x）＝eln x－ax（a∈R）.（1）讨论f（x）的单调性；解 （1）f'（x）＝－a（x＞0），①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在（0，＋∞）上为增函数；②若a＞0，则当0＜x＜时，f'（x）＞0；当x＞时，f'（x）＜0.故在上，f（x）单调递增；在上，f（x）单调递减.
（2）当a＝e时，证明：xf（x）－ex＋2ex≤0.解 （2）证明：因为x＞0，所以只需证f（x）≤－2e，由（1）知，当a＝e时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以f（x）max＝f（1）＝－e.记g（x）＝－2e（x＞0），则g'（x）＝，所以当0＜x＜1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）min＝g（1）＝－e.所以当x＞0时，f（x）≤g（x）， 即f（x）≤－2e，即xf（x）－ex＋2ex≤0.
通性通法 将要证明的不等式拆分成两个函数不等式，如本例第（2）问中xf（x）－ex＋2ex≤0的证明若直接构造函数h（x）＝xeln x－ax2－ex＋2ex，求导后不易分析，故可将不等式合理拆分为f（x）≤－2e或ln x－x＋2≤，再分别对不等式两边构造函数证明不等式.
已知f（x）＝xln x.（1）求函数f（x）的极值；解：（1）由f（x）＝xln x，x＞0，得f'（x）＝ln x＋1，令f'（x）＝0，得x＝.当x∈时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.∴当x＝时，f（x）取极小值，f（x）极小值＝f＝－，无极大值.
（2）证明：对一切x∈（0，＋∞），都有ln x＞－成立. 解：（2）证明：问题等价于证明xln x＞－（x∈（0，＋∞））.由（1）可知f（x）＝xln x（x∈（0，＋∞））的最小值是－，当且仅当x＝时取到.设m（x）＝－（x∈（0，＋∞）），则m'（x）＝，由m'（x）＜0，得x＞1时，m（x）单调递减，由m'（x）＞0得0＜x＜1时，m（x）单调递增， 易知m（x）max＝m（1）＝－，当且仅当x＝1时取到.从而对一切x∈（0，＋∞），xln x≥－≥－，两个等号不同时取到，∴对一切x∈（0，＋∞）都有ln x＞－成立.
题型三 换元法构造函数证明不等式【例3】 已知函数f（x）＝ln x－ax（x＞0），a为常数，若函数f（x）有两个零点x1，x2（x1≠x2）.求证：x1x2＞e2.证明 不妨设x1＞x2＞0，因为ln x1－ax1＝0，ln x2－ax2＝0，所以ln x1＋ln x2＝a（x1＋x2），ln x1－ln x2＝a（x1－x2），所以＝a，欲证x1x2＞e2，即证ln x1＋ln x2＞2.因为ln x1＋ln x2＝a（x1＋x2），所以即证a＞，
所以原问题等价于证明＞，即ln ＞，令c＝（c＞1），则不等式变为ln c＞.令h（c）＝ln c－，c＞1，所以h'（c）＝－＝＞0，所以h（c）在（1，＋∞）上单调递增，所以h（c）＞h（1）＝ln 1－0＝0，即
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第二册利用导数证明不等式课件
