§6.1 函数的单调性
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二、函数单调性定义 一般地，设函数 y = f (x) 的定义域为 I ：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说函数 f (x) 在区间D上是增函数. 如果对于定义域 I 内某个区间 D上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.
1．理解导数与函数的单调性的关系．2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)
1．通过函数的单调性与其导数正负关系的学习，培养学生的逻辑推理、直观想象核心素养．2．借助利用导数研究函数的单调性问题，提升学生的数学运算及逻辑推理核心素养.
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探究点1 导数与函数的单调性之间的关系 问题 我们知道，对于函数y=f(x)来说， 导数f'(x)刻画的是函数y=f(x)在点x的瞬时变化率， 函数的单调性描述的是函数值y随自变量x取值的增加而增加，或函数值y随自变量x取值的增加而减少. 两者都在刻画函数的变化，那么，导数与函数的单调性之间有何关系呢？
实例分析1.计算下面几个一次函数的导数，并讨论这些一次函数的单调性.(1)y=f(x)=x,f'(x)=1；(2)y=f(x)=2x+5,f'(x)=2；(3)y=f(x)=-3x+4,f'(x)=-3.函数的图象如图2-11. 函数⑴(2)的导数都是正的，在定义域(-∞,+∞)内函数值都是随x的增加而增加的；函数⑶的导数是负的，在定义域(-∞,+∞)内函数值是随x的增加而减少的.
2 .计算下面指数函数、对数函数的导数,并讨论这些函数的单调性。原函数 导数(1)y=f(x)=2x, f'(x)=2xln 2>0；(2)y=f(x)=, f'(x)=ln <0；(3)y=f(x)=log3 x, f'(x)=>0；(4)y=f(x)=, f'(x)=<0.
对于函数(1)和(3),相应的定义域内的每一个x都满足f'(x)>0,函数y = f(x)在其定义域内是增函数;对于函数(2)和⑷，相应的定义域内的每一个x都满足f'(x)>0,函数y=f(x)在其定义域内是减函数.
3.最后再看幂函数y=f(x)=x2的导数及其单调性. 函数y=f(x)=x2的导数是f'(x)=2x,其图象如图.当自变量x∈(0,+∞)时,f'(x)=2x>0,函数y=x2在区间(0,+∞)内单调递增；当自变量x∈(-∞,0)时,f'(x)=2x<0,函数y=x2在区间(-∞,0)内单调递减.
导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：(1)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f'(x)>0,则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增；(2)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f'(x)<0,则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减.
导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：注意 若在某个区间内,f'(x)≥0且只在有限个点为0，则在这个区间内，函数y = f(x)单调递增; 若在某个区间内，f'(x)≤0,且只在有限个点为0,则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减.
设f(x)=x＋ (x<0)，则f(x)的单调增区间是 ( ) A. (－∞，－2) B. (－2，0) C. (－∞，－ ) D. (－ ，0)C【即时训练】
例1 讨论函数f(x)=2x3一3x2 —36x+16的单调性.解析：f'(x)=6x2-6x-36 = 6(x+2)(x-3).设 f'(x)＞0,则 6(x+2)(x-3)＞0,即 x＜-2 或 x＞3.故当x∈(-∞,-2)或x∈(3,+∞)时,f'(x)＞0,因此，在这两个区间内，函数f(x)均单调递增；当x∈(-2,3)时,f'(x)＜0,因此，在这个区间内，函数f(x)单调递减.
函数的单调性决定了函数图象的大致形状.因此，当确定了函数的单调性后，再通过描出一些特殊的点，如(-2,60),(3,-65)等，就可以画出函数的大致图象.如图即为函数f(x)=2x3—3x2 —36x+16的大致图象.
根据导数确定函数的单调性步骤：1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f'(x)>0,得函数单调递增区间; 解不等式f'(x)<0,得函数单调递减区间.【提升总结】
1.函数y=xlnx在区间(0，1)上是 ( ) A.单调增函数 B.单调减函数 C.在(0, )上是减函数，在( , 1)上是增函数 D.在( , 1)上是减函数，在(0, )上是增函数C
2.函数f(x)在R上可导，且f(x)=x2 f'(2)-3x，则f(-1)与f(1)的大小关系是( )A．f(-1)=f(1) B．f(-1)＞f(1)C．f(-1)＜f(1) D．不确定B
解：由已知得因为函数在(0，1]上单调递增
2023-2024学年北师大版选择性必修第二册 函数的单调性 (课件)
