2024
年
1
月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(九省联考)数学试题
注意事项:
]
.答卷前,考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.
2
.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3
.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共
8
小题,每小题
5
分,共
40
分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1
.样本数据
16
,
24
,
14
,
10
,
20
,
30
,
12
,
14
,
40
的中位数为
(
)
A
.
14 B
.
16 C
.
18 D
.
20
2
.
椭圆
的离心率为
,则
(
)
A
.
B
.
C
.
D
.
2
3
.
记等差数列
的前
项和为
,则
(
)
A
.
120 B
.
140 C
.
160 D
.
180
4
.
设
是两个平面,
是两条直线,则下列命题为真命题的是
(
)
A
.若
,则
B
.若
,则
C
.若
,则
D
.若
,则
5
.
甲、乙、丙等
5
人站成一排,且甲不在两端,乙和丙之间恰有
2
人,则不同排法共有
(
)
A
.
20
种
B
.
16
种
C
.
12
种
D
.
8
种
6
.
已知
为直线
上的动点,点
满足
,记
的轨迹为
,则
(
)
A
.
是一个半径为
的圆
B
.
是一条与
相交的直线
C
.
上的点到
的距离均为
D
.
是两条平行直线
7
.已知
,则
(
)
A
.
B
.
C
.
1 D
.
8
.
设双曲线
的左、右焦点分别为
,过坐标原点的直线与
交于
两点,
,则
的离心率为
(
)
A
.
B
.
2 C
.
D
.
二、选择题:本题共
3
小题,每小题
6
分,共
18
分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得
6
分,部分选对的得部分分,有选错的得
0
分.
9
.已知函数
,则
(
)
A
.函数
为偶函数
B
.曲线
的对称轴为
C
.
在区间
单调递增
D
.
的最小值为
-2
10
.已知复数
均不为
0
,则
(
)
A
.
B
.
C
.
D
.
11
.已知函数
的定义域为
,且
,若
,则
(
)
A
.
B
.
C
.函数
是偶函数
D
.函数
是减函数
三、填空题:本题共
3
小题,每小题
5
分,共
15
分.
12
.已知集合
,若
,则
的最小值为
__________
.
13
.
已知轴截面为正三角形的圆锥
的高与球
的直径相等,则圆锥
的体积与球
的体积的比值是
__________
,圆锥
的衣而积与球
的表面积的比值是
__________
.
14
.
以
表示数集
中最大的数.设
,已知
或
,则
的最小值为
__________
.
四、解答题:本题共
5
小题,共
77
分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15
.(
13
分)已知函数
在点
处的切线与直线
垂直.
(
1
)求
;
(
2
)求
的单调区间和极值.
16
.(
15
分)盒中有标记数字
1
,
2
,
3
,
4
的小球各
2
个,随机一次取出
3
个小球.
(
1
)求取出的
3
个小球上的数字两两不同的概率;
(
2
)记取出的
3
个小球上的最小数字为
,求
的分布列及数学期望
.
17
.(
15
分)如图,平行六面体
中,底面
是边长为
2
的正方形,
为
与
的交点,
.
(
1
)证明:
平面
;
(
2
)求二面角
的正弦值.
18
.(
17
分)已知抛物线
的焦点为
,过
的直线
交
于
两点,过
与
垂直的直线交
于
两点,其中
在
轴上方,
分别为
的中点.
(
1
)证明:直线
过定点;
(
2
)设
为直线
与直线
的交点,求
面积的最小值.
19
.(
17
分)离散对数在密码学中有重要的应用.设
是素数,集合
,若
,记
为
除以
的余数,
为
除以
的余数;设
,
两两不同,若
,则称
是以
为底
的离散对数,记为
.
(
1
)若
,求
;
(
2
)对
,记
为
除以
的余数(当
能被
整除时,
)
.证明:
,其中
;
(
3
)已知
.对
,令
.证明:
.
2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(九省联考)数学试题(无答案)