上海交通大学2006年推优、保送生考试数学试题

2006 年上海交通大学推优、保送生考试数学试题 一、填空题 （每题 5 分，共 50 分） 1 ．矩形 ABCD 中， AD = a ， AB = b ， 过 A 、 C 作相距为 h 的平行线 AE 、 CF ，则 AF =____ A B C F E D A B C F E D ． 2 ．一个正实数与它的整数部分，小数部分成等比数列，那么这个正实数是 _________ ． 3 ． 2005 ！的末尾有连续 ________ 个 零 ． 4 ． 展开式中， 项的系数为 __________ ． 5 ．在地面距离塔基分别为 100m 、 200m 、 300m 的 A 、 B 、 C 处测得塔顶的仰角分别为 ， 则塔高为 ______________ ． 6 ．三人玩剪子、石头、布的游戏，在一次游戏中，三人不分输赢的概率为 _____________ ；在一次游戏中，甲获胜的概率为 ___________ ． 7 ．函数 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 ________ ． 8 ． 的非实数根， =_____________ ． 9 ． 2 张 100 元， 3 张 50 元， 4 张 10 元人民币，共可组成 _______ 种不同的面值 ． 10 ．已知 ，则数列 前 100 项和为 ___________ ． 二、解答题 （第 11 题 8 分，第 12 、 13 、 14 题每题 10 分，第 15 题 12 分） 11 ． a , b , c R ， abc 0 ， b c ， a ( b c) x 2 b ( c a ) x c ( a b ) 0 有两个相等根， 求证： 成等差数列 ． 12 ．椭圆 ， 一 顶点 A ( 0 , 1 ) ，是否存在这样的以 A 为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形，若存在，求出共有几个，若不存在，请说明理由 ． 13 ．已知 | z |=1 ， k 是实数， z 是复数，求 | z 2 + kz +1| 的最大值 ． 14 ．若函数形式为 为关于 x 的多项式， 为关于 y 的多项式，则称 为 P 类函数，判断下列函数是否是 P 类 函数，并说明理由 ． (1) 1+xy ； (2) 1+xy+x 2 y 2 ． 15 ．设 ．