上海交通大学
2007
年冬令营选拔测试数学试题
一、填空题（每小题
5
分，共
50
分）
1
．设函数
满足
，则
．
2
．设
均为实数，且
，则
．
3
．设
且
，则方程
的解的个数为
．
4
．设扇形的周长为
6
，则其面积的最大值为
．
5
．
．
6
．设不等式
与
的解集分别为
M
和
N
．若
，则
k
的最小值为
．
7
．设函数
，则
．
8
．设
，且函数
的最大值为
，则
．
9
．
6
名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为
．
10
．已知函数
，对于
，定义
，若
，则
．
二、计算与证明题（每小题
10
分，共
50
分）
11
．工件内圆弧半径测量问题．
为测量
一
工件的内圆弧半径
，工人用三个半径均为
的圆柱
形量棒
放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒
顶侧面的垂直深度
，试写出
用
表示的函数关系式，并计算当
时，
的值．
12
．设函数
，试讨论
的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并
作出
其在
内的图像．
13
．已知线段
长度为
，两端均在抛物线
上，试求
的中点
到
轴的最短距离和此时
点的坐标．
14
．设
，试证明对任意实数
：
（
1
）方程
总有相同实根；
（
2
）存在
，恒有
．
15
．已知等差数列
的首项为
，公差为
，等比数列
的首项为
，公比为
，
，其中
均为正整数，且
．
（
1
）求
的值；
（
2
）若对于
，存在关系式
，试求
的值；
（
3
）对于满足（
2
）中关系式的
，试求
．
参考答案：
2
2
，
；偶函数；
；
；周期为
；
略；反证法
2
；
3
；
上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题（答案）
