同济大学2003年暨保送生考试数学试题

同济大学 2003 年暨保送生考试数学试题 一、填空题 1 ． f ( x ) 是周期为 2 的函数，在区间 [ 1,1] 上， f ( x ) | x | ，则 ___( m 为整数 ) ． 2 ．函数 y cos2 x 2cos x , x ∈[0,2 ] 的单调区间是 __________________ ． 3 ．函数 的值域是 __________________ ． 4 ． 5 ．函数 y ＝ f ( x ) ， f ( x +1) f ( x ) 称为 f ( x ) 在 x 处的一阶差分，记作 △ y ，对于 △ y 在 x 处的一阶差分，称为 f ( x ) 在 x 处的二阶差分 △ 2 y ，则 y ＝ f ( x ) ＝ 3 x · x 在 x 处的二阶差分 △ 2 y ____________ ． 6 ． A B C M D N O x y z A B C M D N O x y z 7 ．从 1 ～ 100 这 100 个自然数中取 2 个数，它们的和小于等于 50 的概率是 _____ ____ _ ． 8 ．正四面体 ABCD ，如图建立直角坐标系， O 为 A 在底面的投影，则 M 点坐标是 _________ ， CN 与 DM 所成角是 _________ ． 9 ．双曲线 x 2 y 2 ＝ 1 上一点 P 与左右焦点所围成三角形的面积 ___________ ． 10 ．椭圆 在第一象限上一点 P ( x 0 , y 0 ) ，若过 P 的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是 _________ ． 二、解答题 11 ．不等式 对于任意 x ∈R 都成立，求 k 的取值范围． 12 ．不动点， ． (1) ,3 为不动点，求 a , b , c 的关系； (2) 若 ，求 f ( x ) 的解析式； (3) 13 ．已知 ， (1) 求 y 的最小值； (2) 求取得 最小值时的 ． B A C D A 1 D 1 C 1 B 1 B A C D A 1 D 1 C 1 B 1 14 ．正三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 ， | AA 1 | h ， | BB 1 | a ，点 E 从 A 1 出发沿棱 A 1 A 运动，后沿 AD 运动， ∠ A 1 D 1 E ，求过 EB 1 C 1 的 平面截三棱柱 所得的截面面积 S 与 的函数关系式． 1 5 ．已知数列 { a n } 满足 ． (1) 若 b n ＝ a n a n 1 (n=2,3,…) ， 求 b n ； (2) 求 ； (3) 求 ． 16 ．抛物线 y 2 ＝ 2 px ， (1) 过焦点的直线斜率为 k ，交抛物线与 A , B ，求 | AB | ． (2) 是否存在正方形 ABCD ，使 C 在抛物线上， D 在抛物线内，若存在， 求这样 的 k ，正方形 ABCD 有什么特点？