同济大学
2004
年自主招生优秀考生文化测试数学试卷
一、填空题
（本大题共有
8
题，只要求直接填写结果，每题答对得
5
分，否则一律得零分，本
大题满分
40
分）
1
．函数
的单调递增区间是
_______________________
．
v
(cm/s)
20
15
10
5
O
5
10
15
t
(s)
v
(cm/s)
20
15
10
5
O
5
10
15
t
(s)
2
．如图所示，为某质点在
20
秒内作直线运动时，速度函数
的
图象
，则该质点运动的总路程
s
=_____
（厘米）．
3
．设
a
与
b
是两条
非相互
垂直的异面直线，
与
分别是过直线
a
与
b
的平面，有以下
4
个结论：
(1)
b
//
，
(2)
b
，
(3)
//
，
(4)
，则其中不可能出现的结论的序号为
__________
．
4
．设某地于某日午后
2
时达到最高水位，为
3.20
米
，下一个最高水位恰在
12
小时后达到，而最低水位为
0.20
米
。若水位高度
h
（米）的变化由正弦或余弦函数给出，则该地水位高度
h
（米）作为时间
t
（单位：时，从该日零时起算）的函数的表达式为
_______________
．
5
．设
是第二象限角，
=_____________________
．
6
．已知复平面上点
A
与点
B
分别对应复数
2
与
2i
，线段
AB
上的动点
P
对应复数
Z
，若复数
z
2
对应点
Q
，点
Q
坐标为
(
x
,
y
)
，则点
Q
的轨迹方程为
________________________
．
7
．设有正
数
a
与
b
，满足
a
<
b
，若实数
x
1
,
y
1
,
x
2
,
y
2
，
使
x
1
+
y
1
是
a
与
b
的算术平均数，
x
2
·
y
2
是
a
与
b
的几
何平均数，则
的取值范围是
_________________
．
8
．从
0,1,2
，
…
,9
这
10
个数码中随机抽出
5
个，排列成一行，则恰好构成可以被
25
整除的五位数的概率是
_______________
（用分数给出答案）
．
二、解答题
（本
大题共有
5
题，解答下列各题必须写出必要的步骤，本大题满分
60
分）
9
．（本题满分
12
分）
试利用
三角函数求函数
的最大值与最小值
．
10
．（本题满分
12
分）求证：对于任何实数
a
与
b
，三个数：
|
a
+
b
|,|
a
-
b
|,|
1
a
|
中至少有一个
不小于
．
11
．（本题满分
12
分）设抛物线
y
=
x
2
(2
k
7)
x
4
k
12
与直线
y
=
x
有两个不同的交点，且交点总可以被一个半径为
1
的圆片所同时遮盖，试问：实数
k
应满足什么条件？
P
A
B
C
D
E
P
A
B
C
D
E
12
．（本题满分
12
分）设四棱锥
P
—
ABCD
中，底面
ABCD
是边长为
1
的正方形，且
PA
⊥
面
ABCD
．
(
1
)
求证：直线
PC
⊥
直线
BD
；
(2)
过直线
BD
且垂直于直线
PC
的平面交
PC
于点
E
，如果三棱锥
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