2003
年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题
2003.1.4
一、填空题（本大题共
40
分，每题
4
分）
1
．三次多项式
f
(
x
)
满足
f
(3)
＝
2
f
(1)
，且有两个相等的实数根
2
，则第三个根为
_______
____
．
2
．用长度为
12
的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积
S
的最大值是
___
__________
__
．
3
．已知
，
x
+2
y
＝
1
，则
的最小值是
______________
．
4
．有
4
个数，前
3
个成等比数列，后
3
个成等差数列，首末两数和为
32
，中间两数和为
24
，则这四个数是
___________________
．
5
．已知
f
(
x
)
ax
7
+
bx
5
+
x
2
+2
x
1
，
f
(2)
8
，则
f
(
2)
_______________
．
6
．投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是
_______________
．
7
．正四面体的各个面无限延伸，把空间分为
________________
个
部分．
8
．有
n
个
元素的集合分为两部分，空集除外，可有
___________
种分法．
9
．有一个整数的首位是
7
，当
7
换至末位时，得到的数是原数的三分之一，则原数的最小值是
___________
．
10
．
100!
末尾连续有
______________
个
零．
二、解答题（本大题共
60
分，每题
10
分）
11
．数列
{
a
n
}
的
a
1
1
，
a
2
3
，
3
a
n
+2
2
a
n
+1
+
a
n
，求
a
n
和
．
12
．
3
个自然数倒数和为
1
．
求所有
的解．
13
．已知
x
1000
+
x
999
(
x
+1)+…+(
x
+1)
1000
，求
x
50
的系数．
14
．化简：
(1)
；
(2)
．
15
．求证：
为最简分式．
16
．证明不等式
，当自然数
n
≥6
时成立．
上海交通大学2003年冬令营选拔测试数学试题
