平面向量六大微专题：从高考到联赛-微专题4.三角形四心(专题讲义) 高一下学期数学通用版

平面向量 六大微专题 ：从高考到联赛 在高考向量压轴题目中，等和线，极化恒等式，矩形大法这些的命题背景都有所涉及，因此，本文就系统总结了平面向量的 六大微专题 ，从 高考模考的 一些向量压轴试题入手到各地预赛，联赛题目汇编，希望通过此项工作，为后续的高考备考和联赛复习做好相应的准备 . 微专题 1. 等和线及应用 微专题 2. 极化恒等式 微专题 3. 矩形大法 微专题 4. 三角形四心向量表示 微专题 5. 奔驰定理 微专题 6. 向量隐圆 微专题 4. 三角形四心 重心：三角形三条中线的交点，重心为 证明： 是△ ABC 所在平面内一点， =0 点 G 是△ AB 的重心 . 证明 : 作图如右，图中 连结 BE 和 CE ，则 CE=GB ， BE=GC BGCE 为平行四边形 D 是 BC 的中点， AD 为 BC 边上的中线 . 将 代入 =0 ，得 =0 ，故 G 是△ ABC 的重心 . （反之亦然（证略）） 例 4 ． 是△ ABC 所在平面内任一点 . G 是△ ABC 的重心 . 证明 ∵ G 是△ ABC 的重心 ∴ =0 =0 ， 即 由此可得 . （反之亦然（证略）） 例 5. 如图，已知点 G 是 的重心，过 G 作直线与 AB ， AC 两边分别交于 M ， N 两点，且 ， ，则 . 证 点 G 是 的重心，知 O ， 得 O ，有 . 又 M ， N ， G 三点共线（ A 不在直线 MN 上），于是存在 ，使得 ， 有 = ， 得 ，于是得 二．外心：三角形三条中垂线的交点 . 外心 例 6. 如图， 为 的外心，证明： 1. ； ，同理可得 等 . 2. ，同理可得 等 . 3. ，同理可得 等 . 证明：结合三角形中线向量公式及极化恒等式即可完成证明 . 附：如图，直角三角形 中， . 练习 5. 1. 已知 外接圆的圆心为 ，若 ，则 的值为 ( ) A. B. C. D. 2 若 外接圆的圆心为 ，半径 为，且 ，则 . 3. 若 外接圆的圆心为 , , 则 三．内心 . 三角形三条角平分线的交点 . 内心为 例 7. 是平面上的一定点， A,B,C 是平面上 不 共线的三个点，动点 P 满足 ， 则 P 点的轨迹一定通过 的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 解：因为 是向量 的单位向量设 与 方向上的单位向量分别为 ， 又 ，则原式可化为 ，由菱形的基本性质知 AP 平分 ，那么在 中， AP 平分 ， 则知选 B. 四．垂心：三角形三条高线的交点 . 垂心为 例 8. 点 是△ ABC 所在平面内任一点， 点 是△ ABC 的垂心 . 由 , 同理 ， . 故 H 是△ ABC 的垂心 . （反之亦然（证略）） 练习 3 ．已知 H 为 的垂心， ， ， M 为边 BC 的中点，则 A ． 20 B ． 10 C ． D ． 联赛真题汇编： （ 2018 辽宁预赛） 已知点 P 、 Q 在△ ABC 内，且 ，则 等于 . A ． B ． C ． D ． 2 ．（ 2018 安徽预赛）设 H 是△ ABC 的垂心，且 ，则 _____________. 3 ．（ 2018 湖北预赛）设 为 的重心，若 ，则 的最大值为 ______. 4. （ 2019 高中数学联赛） 平面直角坐标系中， 已是单位向量，向量 满足 ，且 对任意实数 t 成立，则 的取值范围是 ______ . 5 ．（ 2019 甘肃预赛） 的三边分别为 ，点 为 的外心，已知 ，那么 的取值范围是 ____________ . 6 ．（ 2019 贵州预赛） △ ABC 中， . 则 ____________ . 7 ．（ 2019 福建预赛）已知为△ ABC 的内心，且 . 记 R ､ r 分别为△ ABC 的外接圆､内切圆半径，若 ，则 R =____________ . 32