平面向量六大微专题：从高考到联赛
在高考向量压轴题目中，等和线，极化恒等式，矩形大法这些的命题背景都有所涉及，因此，本文就系统总结了平面向量的六大微专题，从高考模考的一些向量压轴试题入手到各地预赛，联赛题目汇编，希望通过此项工作，为后续的高考备考和联赛复习做好相应的准备
.
微专题
1.
等和线及应用
微专题
2.
极化恒等式
微专题
3.
矩形大法
微专题
4.
三角形四心向量表示
微专题
5.
奔驰定理
微专题
6.
向量隐圆
微专题
1.
等和线及应用
如图所示，由于
三点共线，故
当且仅当
.
进一步，若
，
由于点
在直线
上的任意性可知，点
所动成的直线
平行于直线
，且直线
上任意一点都满足
，故称直线
为等和线
.
此时
相似于
，因此，我们就可以取特殊情形，即过三点
的直线分别垂直于
，
时，计算
.
例
1.
（
2017
年
3
卷）在矩形
中，
，点
在以
为圆心且与
相切
的圆上，若
，求
的最大值
.
解析：如图，由等和线性质可知，
，显然，当
的平行线
与圆在最上方相切时，
取最大，显然此时，直线
的方程为
，故可取
为点
到直线
的距离
.
由于
的平行线
与圆
相切，故可得
的方程为
，那么取
为点
到直线
的距离
.
这样就可得到
.
练习
1.
（
2021
绵阳三诊）已知点
为抛物线
的焦点，
，过点
且斜率为
的直线交抛物线于
，
两点，点
为抛物线上任意一点，若
，则
的最小值为（
）
A.
B
．
C
．
D
．
练习题
1
．在矩形
ABCD
中，
AB
=1
，
AD
=2
，动点
P
在以点
C
为圆心且与
BD
相切的圆上
.
若
，则
的最大值为
（
）
A
．
3
B
．
2
C
．
D
．
2
2
．如图正六边形
ABCDEF
中，
P
点三角形
CDE
内（包括边界）的动点，设
，
则
的取值范围是
________
．
3
.
己知在平行四边形
ABCD
中，
M
，
N
分别是边
BC
，
CD
的中点，
AM
与
BN
相交于点
P
，记
，
，用
表示
的结果是
( )
武昌区
2021
届高三年级
1
月质量检测
12
题（多选）
4.
如图所示
,
在凸四边形
ABCD
中，对边
BC
，
AD
的延长线交于点
E
，对边
AB
，
DC
的延长线交于点
F,
若
，
，
，则（
）
A.
B.
C
.
的最大值为
1
D.
2021.3
月
深圳红岭中学二模第
7
题
在
△
ABC
中，
，
AB
＝
3
，
AC
＝
1
，
点
P
是
△
ABC
所在平面内一点
，
，
且满足
，若
，
则
3
x
＋
y
的最小值是
( )
．
A
．
B
．
C
．
1
D
．
给定两个长度为
3
的平面向量
和
，它们的夹角为
120
°，如图所示
,
点
C
在以
O
为圆心的圆弧
上运动，若
，其中
，则
的最大值是
_
____
；
的最大值是
_
_____.
2
021.4
湖北部分重点高中高一联考第
12
题（多选）
直角梯形
,
是边长为
2
的正三角形，
是平面上的动点，
，
，则
的值可以为（
）
A. 0 B.1 C.2 D.3
浙江省杭州市学军中学
20
20
高一期中第
8
题
如图，在正方形
ABCD
中，
E
为
BC
的中点，
P
是以
AB
为直径的半圆弧上任意一点，设
，则
2x+y
的最小值为
(
)
A
．－
1 B
．
1 C
．
2 D
．
3
2
020
江苏高考第
1
3
题
在△
ABC
中，
AB=4
，
AC=3
，∠
BAC=90
°，
D
在边
BC
上，延长
AD
到
P
，使得
AP=9
，若
(m
为常数
)
，则
CD
的长度是
_
______
2021
．
4
江苏常熟市高一期中第
16
题
如图，在菱形
ABCD
中，
AB
＝
3
，∠
BAD
＝
60
°，
分别为
BC
，
CD
上的点，
，
，若线段
EF
上存在一点
M
，使得
，则
x
＝
_
______
_
，
_______
．
2
021.4
成都七中高一期中第
12
题
如图，点
C
是半径为
6
的扇形圆弧
上一点，
，若
，则
的最大值为（
）
A.
B.
C.
D.
答案解析：
全国高考
3
卷第
12
题
1
．在矩形
ABCD
中，
AB
=1
，
AD
=2
，动点
P
在以点
C
为圆心且与
BD
相切的圆上
.
若
，则
的最大值为
（
）
A
．
3
B
．
2
C
．
D
．
2
【答案】
A
【解析】
设
,
，则
,
设
，则
，即
而
∵
PE
过点
C
时取最大值，则
，故
，则
2
．如图正六边形
ABCDEF
中，
P
点三角形
CDE
内（包括边界）的动点，设
，
则
的取值范围是
________
．
【答案】
【解析】令
,
易证
，
，∴
3
.
己知在平行四边形
ABCD
中，
M
，
N
分别是边
BC
，
CD
的中点，
AM
与
BN
相交于点
P
，记
，
，用
表示
的结果是
( )
【答案】
B
【解析】
AM
交
B
D
于
Q
，
易知
，
所以
（分点定比恒等式）
设
，
，则有
，故选
B
【法二】延长
B
N
，
A
D
交于点
E
【法三】过
M
，
D
作
B
N
平行线
易知
武昌区
2021
届高三年级
1
月质量检测
12
题（多选）
4.
如图所示
,
在凸四边形
ABCD
中，对边
BC
，
AD
的延长线交于点
E
，对边
AB
，
DC
的延长线交于点
F,
若
，
，
，则（
）
A.
B.
C
.
的最大值为
1
D.
【答案】
ABD
【解析】显然
A
正确，注意规律（分点恒等式）
平面向量六大微专题：从高考到联赛（学案）微专题1.等和线及应用-高一下学期数学通用版
