平面向量六大微专题：从高考到联赛-微专题5.奔驰定理(专题讲义) 高一下学期数学通用版

平面向量六大微专题：从高考到联赛 在高考向量压轴题目中，等和线，极化恒等式，矩形大法这些的命题背景都有所涉及，因此，本文就系统总结了平面向量的六大微专题，从高考模考的一些向量压轴试题入手到各地预赛，联赛题目汇编，希望通过此项工作，为后续的高考备考和联赛复习做好相应的准备 . 微专题 1. 等和线及应用 微专题 2. 极化恒等式 微专题 3. 矩形大法 微专题 4. 三角形四心向量表示 微专题 5. 奔驰定理 微专题 6. 向量隐圆 微专题 5. 奔驰定理 奔驰定理：点 是 所在平面上不与 重合的一点，若 ， 则 ，即 . 反之亦然 . 证明：只证 的情形，其它情形可类似证明．如图 1 ，由 得 ， ， 存在点 使得 ，且 ， ， ， ，同理有 ， ，即 , 命题得证． 图 1 图 2 2. 三角形四心的向量表达 如图 2 ， 为 内一点，设 分别表示 的边长，则 （ 1 ） 为 的重心 ； （ 2 ） 为 的外心 ； （ 3 ） 为 的内心 ； （ 4 ） 为 的垂心 . 这样，我们就以奔驰定理为基本依次推出了三角形四心的向量形式，下来，我们将重点介绍四心向量形式的应用 . 二．联赛中的应用 例 1 （ 2021 重庆联赛） 已知点 为 的垂心，且满足 ，则角 ________. 例 2. （ 2020 四川联赛） 设 的外接圆圆心为 ，且 ，则角 _________. 例 3 ．（ 2018 河南联赛） 已知点 在 内，且满足 ，设 、 、 的面积依次为 、 、 ，则 ______ ． （ 2018 河北联赛） 设 为三角形 ABC 内一点，且满足关系式： _____. 参考答案： 例 1. 例 2. 解析： . 例 3. 解析： 因为 ， 所以 ，所以 ． 例 4. 解析： 将 化为 ， . 设 M 、 N 分别是 AB 、 AC 的中点，则 . 设 △ABC 的面积为 S ，由几何关系知 ， ， ， 所以 . 练习题 1 ．已知点 是 所在平面内一点，若 ，则 与 的面积之比为（ ） A ． B ． C ． 2 D ． 2 ．已知 是 内部（不含边界）一点，若 ， ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 1 3 ．已知平面向量 ， ， ，满足 ，且 ，则 的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ． 4 ．在平面直角坐标系 中，已知平面向量 ， 满足 ， ，则 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 5 ．已知点 是 所在平面内的动点，且满足 ，射线 与边 交于点 ，若 ， ，则 的最小值为（ ） A ． B ． 2 C ． D ． 6 ．点 P 是菱形 内部一点，若 ，则 的面积与 的面积的比值是（ ） A ． 6 B ． 8 C ． 12 D ． 15 7 ．已知点 为正 所在平面上一点，且满足 ，若 的面积与 的面积比值为 ，则 的值为（ ） A ． B ． C ． 2 D ． 3 8 ．已知 ， ， 是平面向量， 与 是单位向量，且 ，向量 满足 ，则 的最大值与最小值之和是（ ） A ． B ． C ． D ． 9 ．已知平面向量 满足 ， ，则 的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ． 10 ．已知点 为 外接圆的圆心，角 A ， B ， 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 ，若 ，则当角 取到最大值时 的面积为（ ） A ． 5 B ． C ． D ． 11 ．已知平面向量 、 满足 ，且 与 的夹角为 ，若 ，则 的最小值为（ ） A ． 1 B ． C ． D ． 12 ．非零向量 ， 满足 ，且 ，则 为（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 13 ．在 中，斜边 长为 2 ， O 是平面 外一点，点 P 满足 ，则 等于（ ） A ． 2 B ． 1 C ． D ． 4 14 ．在 中， ，点 满足 ，若 ，则 的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 15 ．在 中，设 ，那么动点 的轨迹必通过 的（ ） A ．垂心 B ．内心 C ．外心 D ．重心 参考答案 1 ． C 【详解】 不妨设 中， ，边长 ，边长 ， 以 A 为原点、 AB 为 x 轴、 AC 为 y 轴建立平面直角坐标系 则 、 、 , , 设 ，则 故 可得 ，故 的面积为 ， 的面积为 则 与 的面积之比为 故选： C 2 ． A 【详解】 如图，连接 AD 并延长交 BC 与点 M , 设点 B 到直线 AD 的距离为 , 点 C 到直线 AD 的距离为 , 因为 ， 所以设 ， 因为 AM 与向量 AD 共线， 设 , , 所以 ， 即 ， , 所以 故选： A 3 ． B 【详解】 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 不妨设 ， ， ， ， ， ， 则 ， ， 因为 ，所以 ， 化简为： ， 所以 对应的点 是以 为圆心，半径为 的圆， 所以 的最小值为 ， 故选： B. 4 ． C 【详解】 根据题意，令 ， ， 则 ，即 ， 因此 在 为圆心， 4 为半径的圆上，易知 ， 故 ，即 . 故选： C. 5 ． C 【详解】 表示与 共线的单位向量， 表示与 共线的单位向量， 的分向与 的平分线一致， ， 所以点 在 的平分线上，即 为 的角平分线， 在 中， ， ，利用正弦定理知： 同理，在 中， ，其中 分析可知当 时， 取得最小值，即 故选： C 6 ． A 【详解】 如图，设 中点为 ， 中点为 ， 因为 ，即 ，则 ， 即 ， 则 ， 所以 的面积与 的面积的比值是 6. 故选： A. 7 ． B 【详解】 ， ． 如图， ， 分别是对应边的中点， 由平行四边形法则知 ， ， 故