2024届重庆市育才中学缙云教育联盟高三上学期9月月考数学试题（详解版）

★秘密· 202 3 年 9 月 22 日 1 7 ： 00 前 重庆市 202 3 -202 4 学年（上） 9 月月度质量检测 202 3.09 202 3.09 高三数学 【命题单位：重庆缙云教育联盟】 注意事项： 1. 答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回； 4. 全卷共 5 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．已知复数 满足 ，其中 为 的共轭复数，则 （      ） A ． B ． C ． D ． 2 ．已知集合 ， ，则下列判断正确的是（      ） A ． B ． C ． D ． 3 ．四名同学各掷骰子 5 次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果、可以判断出一定没有出现点数 6 的是（      ） A ．平均数为 2 ，方差为 3.1 ； B ．中位数为 3 ，方差为 1.6 ； C ．中位数为 3 ，众数为 2 ； D ．平均数为 3 ，中位数为 2. 4 ．函数 ， 的零点个数为（      ） A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 5 ．已知 A ， B 是圆 C ： 上的两个动点，且 ，若 ，则点 P 到直线 AB 距离的最大值为（      ） A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 7 6 ．若函数 在区间 上有零点，则 的最小值为（      ） A ． B ． C ． D ． 7 ．若关于 的方程 在 内有两个不同的解 ，则 的值为（      ） A ． B ． C ． D ． 8 ．已知数列 满足： ，对于任意实数 ，集合 的元素个数是（      ） A ． 个 B ．非零有限个 C ．无穷多个 D ．不确定，与 的取值有关 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 2 分。 9 ．在四面体 ABCD 中， ， ， E ， F ， G 分别是棱 BC ， AC ， AD 上的动点，且满足 AB ， CD 均与面 EFG 平行，则（      ） A ．直线 AB 与平面 ACD 所成的角的余弦值为 B ．四面体 ABCD 被平面 EFG 所截得的截面周长为定值 1 C ． 的面积的最大值为 D ．四面体 ABCD 的内切球的表面积为 10 ．已知圆 M ： ，圆 N ： ，则下列选项正确的是（      ） A ．直线 MN 的方程为 B ．若 P ､ Q 两点分别是圆 M 和圆 N 上的动点，则 的最大值为 5 C ．圆 M 和圆 N 的一条公切线长为 D ．经过点 M ､ N 两点的所有圆中面积最小的圆的面积为 11 ．已知函数 ，则下列选项正确的是（      ） A ．函数 的值域为 B ．函数 的单调减区间为 ， C ．若关于 x 的方程 有 3 个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是 D ．若关于 x 的方程 有 6 个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是 12 ．历史上著名的伯努利错排问题指的是：一个人有 封不同的信，投入 n 个对应的不同的 信箱，他把每封信都投错了信箱，投错的方法数为 . 例如两封信都投错有 种方法，三封信都投错有 种方法，通过推理可得： . 高等数学给出了泰勒公式： ，则下列说法正确的是（      ） A ． B ． 为等比数列 C ． D ．信封均被投错的概率大于 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 ．若 ， ，则 在 上的投影向量的坐标为 . 14 ．已知正四棱柱 的每个顶点都在球 的球面上，若球 的表面积为 ，则该四棱柱的侧面积的最大值为 . 15 ．已知函数 ，则使不等式 成立的 的取值范围是 . 16 ． 2023 年 1 月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司 发布的名为 “ ” 的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注 . 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中 表示每一轮优化时使用的学习率， 表示初始学习率， 表示衰减系数， 表 示训练迭代轮数， 表示衰减速度 . 已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 ，衰减速度为 18 ，且当训练迭代轮数为 18 时，学习率衰减为 ，则学习率衰减到 以下（不含 ）所需的训练迭代轮数至少为 . （参考数据： ） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 ．设等比数列 的前 项和为 ，数列 为等差数列，且公差 ， . (1) 求数列 的通项公式以及前 项和 ； (2) 数列 的前 项和为 ，求证： . 18 ．已知 ， ， 其中 ， 为锐角． (1) 求 的值； (2) 求 的值． 19 ．红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数 y （个）和平均温度 x （ ℃ ）有关，现收集了以往某地的 7 组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值 . (1) 根据散点图判断， 与 （其中 … 为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数 y （个）关于平均温度 x （ ℃ ）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2) 由（ 1 ）的判断结果及表中数据，求出 y 关于