2024届湖南省长沙市第一中学高三新改革适应性训练一数学试题（九省联考题型） （解析版）

湖南 2024 年 高三数学新改革适应性 训练一 （九省联考 题型 ） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 ．（本题 5 分）现有随机选出的 20 个数据，统计如下，则（      ） 7      24      39      54      61      66      73      82      82      82 87      91      95      8      98      102      102      108      114      120 A ．该组数据的众数为 102 B ．该组数据的极差为 112 C ．该组数据的中位数为 87 D ．该组数据的 80% 分位数为 102 2 ．（本题 5 分）已知椭圆 （ ）的两焦点分别为 、 ．若椭圆上有一点 P ，使 ，则 的面积为（      ） A ． B ． C ． D ． 3 ．（本题 5 分）已知正项等比数列 的前 n 项和为 ．若 ，则 （      ） A ． B ． C ． D ． 4 ．（本题 5 分）已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列说法正确的是（      ） A ．若 ，且 ，则 B ．若 ，且 ，则 C ．若 ，且 ，则 D ．若 ，且 ，则 5 ．（本题 5 分）设集合 ，其中 为自然数且 ，则符合条件的集合 A 的个数为（      ） A ． 833 B ． 884 C ． 5050 D ． 5151 6 ．（本题 5 分）在平面直角坐标系 中，设 ， ， ，动点 满足 ，则 最大值为（      ） A ． B ． C ． D ． 7 ．（本题 5 分）如图，在 中， D 是 BC 的中点， E 是 AC 上的点， ， ， ， ，则 （      ）    A ． B ． C ． D ． 8 ．（本题 5 分）已知直线 ： 与椭圆 ： 至多有一个公共点，则 的取值范围是（      ） A ． B ． C ． D ． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9 ．（本题 6 分）下列说法正确的是（      ） A ．正切函数是周期函数，最小正周期为 π B ．正切函数的图象是不连续的 C ．直线 是正切曲线的渐近线 D ．把 的图象向左、右平行移动 个单位，就得到 的图象 10 ．（本题 6 分）已知复数 ， 在复平面上对应的点分别为 A ， B ，且 O 为复平面原点若． （ i 为虚数单位），向量 绕原点逆时针方向旋转 90° ，且模伸长为原来的 2 倍后与向量 重合，则（      ） A ． 的虚部为 B ．点 B 在第二象限 C ． D ． 11 ．（本题 6 分）已知定义域为 的函数 ，满足 ，且 ， ，则（ ） A ． B ． 是偶函数 C ． D ． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12 ．（本题 5 分）若命题 “ ， ” 是假命题，则实数 的取值范围为 ． 13 ．（本题 5 分）在三棱锥 中，平面 平面 ACD ， O 是 AD 的中点，若棱长 ，且 ，则点 D 到平面 ABC 的距离为 ，点 O 到平面 ABC 的距离为 . 14 ．（本题 5 分）在同一平面直角坐标系中， P ， Q 分别是函数 和 图象上的动点，若对任意 ，有 恒成立，则实数 m 的最大值为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 ．（本题 13 分）为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了 “ 我们的元宵节 ” 主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下： 奖项组别 个人赛 团体赛获奖 一等奖 二等奖 三等奖 高一 20 20 60 50 高二 16 29 105 50 (1) 从获奖学生中随机抽取 1 人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率； (2) 从高一和高二获奖者中各随机抽取 1 人，以 表示这 2 人中团体赛获奖的人数，求 的分布列和数学期望； 16 ．（本题 15 分）如图在平行六面体 中， ， ．    (1) 求证：直线 平面 ； (2) 求直线 和 夹角的余弦值． 17 ．（本题 15 分）已知函数 ， . (1) 若函数 在 上单调递增，求 的最小值； (2) 若函数 的图象与 有且只有一个交点，求 的取值范围． 18 ．（本题 17 分）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，焦点到渐近线的距离为 1. (1) 求双曲线的标准方程； (2) 过点 的直线 与双曲线的右支相切于点 ，与 平行的直线 与双曲线交于 ， 两点，与直线 交于点 . 是否存在实数 ，使得 ？若存在，求实数 的值；若不存在，请说明理由 . 19 ．（本题 17 分）已知集合 ，其中 且 ，若对任意的 ，都有 ，则称集合 具有性质 . (1) 集合 具有性质 ，求 的最小值； (2) 已知 具有性质 ，求证： ； (3) 已知 具有性质 ，求集合 中元素个数的最大值，并说明理由 . 参考答案： 1 ． D 【详解】将数据按从小到大的顺序排列： 7 ， 8 ， 24 ， 39 ， 54 ， 61 ， 66 ， 73 ， 82 ， 82 ， 82 ， 87 ， 91 ， 95 ， 98 ， 102 ， 102 ， 108 ， 114 ， 120 ， 对于 A ，出现次数最多的是 82 ，所以众数是 82 ，故 A 错误； 对于 B ，极差为 ，故 B 错误； 对于 C ， ， 第 10 个数和第 11 个数的平均数为中位数， 即 ，故 C 错误； 对于 D